Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分別為CD、PB的中點．
（1）求證：EF⊥平面PAB；
（2）設AB=

2

BC，求AC與平面AEF所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）先由條件證明BA⊥平面EFG，可得BA⊥EF ①．再求得△EPB為等腰三角形，故有EF⊥BP ②．由①②利用直線和平面垂直的判定定理可得EF⊥平面PAB．
（2）設AD=1=PD，則AB=

2

．設AC∩BD=O，則FO⊥平面ABCD．設點C到平面AEF的距離為h，根據V_F-ACE=V_C-AEF 求得h=

1

2

．而AC=

3

，設AC與平面AEF所成的角為θ，由sinθ=

h

AC

，運算求得結果．

解答：解：（1）∵ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，∴BA⊥PA．
取AB得中點為G，∵E、F分別為CD、PB的中點，∴EG⊥AB．
再由FG為△BAP的中位線，可得FG∥PA，∴FG⊥BA．
這樣，BA垂直于平面EFG內的兩條相交直線EG、FG，∴BA⊥平面EFG，∴BA⊥EF  ①．
由AD=PD可得EP=

ED2+PD2

=EB=

EC2+BC2

，故△EPB為等腰三角形，故有EF⊥BP ②．
由①②可得EF⊥平面PAB．
（2）設AD=1=PD，則AB=

2

．設AC∩BD=O，則FO為△BPD的中位線，故FO=

1

2

PD=

1

2

，且FO⊥平面ABCD．
設點C到平面AEF的距離為h，∵V_F-ACE=V_C-AEF，∴

1

3

•

1

2

•CE•AD•FO=

1

3

•

1

2

•AF•EF•h．
化簡可得，CE•AD•FO=AF•EF•h ③．
再由AE=

AD2+DE2

=

1+ 1 2

=

6

2

，AF=

1

2

BD（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）=

1

2

PD2+BD2

=

1

2

1+3

=1，
可得EF=

AE2-AF2

=

2

2

．
故由③可得

2

2

×1×

1

2

=1×

2

2

×h，解得h=

1

2

．
而AC=

3

，設 AC與平面AEF所成的角為θ，則sinθ=

h

AC

=

1 2

3

=

3

6

，
故AC與平面AEF所成的角的正弦值為

3

6

．

點評：本題主要考查直線和平面垂直的判定定理的應用，用等體積法求點到平面的距離，直線和平面所成的角的定義和求法，屬于中檔題．