【題目】已知向量,
(1)若,求的值;
(2)令,把函數(shù)的圖象上每一點的橫坐標都縮小為原來的一半(縱坐標不變),再把所得圖象沿軸向左平移個單位,得到函數(shù)的圖象,求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即圖象的對稱中心.
【答案】(1) (2) 的單調(diào)增區(qū)間是(),函數(shù)圖象的對稱中心為()
【解析】試題分析:先根據(jù)數(shù)量積的坐標運算公式求出數(shù)量積,由于向量垂直,所以數(shù)量級為0,得出tanx,再利用二倍角正切公式求出tan2x的值,第二步求出函數(shù)f(x)的表達式化為標準形式后,函數(shù)的圖象上每一點的橫坐標都縮小為原來的一半(縱坐標不變),相當于x替換為2x, 再把所得圖象沿軸向左平移個單位,相當于把x替換為,得到函數(shù)的解析式,根據(jù)解析式求出單增區(qū)間和對稱中心.
試題解析:
(1)∵,
即 ∴,
∴.
(2)由(1)得,從而.
解得(),
∴的單調(diào)增區(qū)間是(),
由得(),即函數(shù)圖象的對稱中心為().
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓 M與圓N:(x﹣ )2+(y+ )2=r2關(guān)于直線y=x對稱,且點D(﹣ , )在圓M上.
(1)判斷圓M與圓N的公切線的條數(shù);
(2)設(shè)P為圓M上任意一點,A(﹣1, ),B(1, ),P,A,B三點不共線,PG為∠APB的平分線,且交AB于G,求證:△PBG與△APG的面積之比為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面為梯形, 底面, , , , .
(1)求證:平面 平面;
(2)設(shè)為上的一點,滿足,若直線與平面所成角的正切值為,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),設(shè)與的交點為,當變化時, 的軌跡為曲線.
(1)寫出的普遍方程及參數(shù)方程;
(2)以坐標原點為極點, 軸正半軸為極軸建立極坐標系,設(shè)曲線的極坐標方程為, 為曲線上的動點,求點到的距離的最小值.
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【題目】已知橢圓()的一個焦點是, 為坐標原點,且橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構(gòu)成正三角形,過點的直線交橢圓于點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)為橢圓上一點,且滿足,當,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】若函數(shù)滿足:集合中至少存在三個不同的數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列,則稱函數(shù)是等比源函數(shù).
()判斷下列函數(shù):①;②;③中,哪些是等比源函數(shù)?(不需證明)
()判斷函數(shù)是否為等比源函數(shù),并證明你的結(jié)論.
()證明: , ,函數(shù)都是等比源函數(shù).
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【題目】下列說法: ①一組數(shù)據(jù)不可能有兩個眾數(shù);
②一組數(shù)據(jù)的方差必為正數(shù),且方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;
③將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)都加上同一個常數(shù)后,方差恒不變;
④在頻率分布直方圖中,每個長方形的面積等于相應(yīng)小組的頻率.
其中錯誤的個數(shù)有( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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【題目】某城市隨機抽取一年(365天)內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)API的監(jiān)測數(shù)據(jù),結(jié)果統(tǒng)計如表:
API | [0,50] | (50,100] | (100,150] | (150,200] | (200,250] | (250,300] | >300 |
空氣質(zhì)量 | 優(yōu) | 良 | 輕微污染 | 輕度污染 | 中度污染 | 中度重污染 | 重度污染 |
天數(shù) | 4 | 13 | 18 | 30 | 9 | 11 | 15 |
(1)若某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟損失S(單位:元)與空氣質(zhì)量指數(shù)API(記為ω)的關(guān)系式為: S= ,試估計在本年內(nèi)隨機抽取一天,該天經(jīng)濟損失S大于200元且不超過600元的概率;
(2)若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季,其中有8天為重度污染,完成下面2×2列聯(lián)表,并判斷能否有95%的把握認為該市本年空氣重度污染與供暖有關(guān)? 附:
P(K2≥k0) | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
k2=
非重度污染 | 重度污染 | 合計 | |
供暖季 | |||
非供暖季 | |||
合計 | 100 |
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,已知曲線(為參數(shù)),在以原點為極點, 軸的非負半軸為極軸建立的機坐標系中,直線的極坐標方程為.
(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程;
(2)過點且與直線平行的直線交于兩點,求點到兩點的距離之積.
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