Question

如圖（1）在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP=2，點(diǎn)D為AP的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G分別這PC、PD、CB的中點(diǎn)，將三角形PCD沿CD折起，使點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)的射影為點(diǎn)D，如圖（2）．
（1）求證：PA∥平面EFG；
（2）求二面角E-FG-D的余弦值的絕對(duì)值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證PA∥平面EFG，可以證明PA所在平面與平面FEG平行即可．
（2）求二面角E-FG-D的余弦值的絕對(duì)值．建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的數(shù)量積求解即可．
解答：解：由題意，將△PCD沿CD折起后，PA⊥平面ABCD．四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PD=2．
（1）因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是PC，PD，BC的中點(diǎn)，
所以EF∥CD，EG∥PB．
又因?yàn)镃D∥AB，所以EF∥AB，因?yàn)锳B?平面EFG，
EF?平面EFG，所以AB∥平面EFG，
同理PBAB∥平面EFG，又因?yàn)镻B∩AB=B，
所以平面EFG∥平面PAB，PA?平面PAB，
所以PA∥平面EFG．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，如圖，
則D（0，0，0），F(xiàn)（0，0，1），G（1，2，0），E（0，1，1），
求出平面DFG的法向量m=（-2，1，0），
平面EFG的法向量，n=（1，0，1）．
所以|cos?m，n?|=
點(diǎn)評(píng)：本題考查空間平面與平面之間的位置關(guān)系，空間直角坐標(biāo)系，法向量，數(shù)量積等知識(shí)，是難題．