Question

【題目】已知四棱錐，平面，底面為直角梯形，，，，，是中點(diǎn).

(1)求證：平面；

(2)若直線與平面所成角的正切值為，是的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：(1) 取中點(diǎn)，連接，，證明,然后用判定定理證明(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量和平面的法向量，運(yùn)用公式計(jì)算

解析：（1）證明：取中點(diǎn),連接，

在中，,,,

四邊形為平行四邊形.

又平面,平面

平面 .

（2）由已知得：兩兩垂直，以所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

平面，

就是與平面所成的角.

在中，，即，

設(shè)，則，

中，為斜邊中點(diǎn)，

.

則，，，

所以，.

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則

，令，得.

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則

，令 .

.

二面角的余弦值為.