Question

已知m∈R且m≠0，直線l：mx-（m²+1）y=4m，圓C：x²+y²-8x+4y+16=0，則直線l與圓C相交所得弦長(zhǎng)的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：直線與圓

分析：首先根據(jù)圓的方程求出圓心及半徑，將直線l：mx-（m²+1）y=4m，轉(zhuǎn)化為kx-y-4k=0．其中k=

m

m2+1

∈[-

1

2

，0）∪（0，

1

2

]．再利用點(diǎn)到直線的距離公式得到圓心到直線的距離d=

|4k+2-4k|

k2+1

=

2

k2+1

∈[

4

5

，2)，從而可根據(jù)弦長(zhǎng)公式得到弦長(zhǎng)的取值范圍．

解答： 解：圓C：x²+y²-8x+4y+16=0方程可化為
（x-4）²+（y+2）²=4．
∴圓心C（4，-2），半徑r=2．
∵直線l：mx-（m²+1）y=4m，
∴y=

m

m2+1

（x-4）．
令k=

m

m2+1

．
則k=

m

m2+1

∈[-

1

2

，0）∪（0，

1

2

]．
∴直線l：y=k（x-4），即kx-y-4k=0．
∴圓心C（4，-2）到直線l：kx-y-4k=0的距離
d=

|4k+2-4k|

k2+1

=

2

k2+1

∈[

4

5

，2)，
d2∈[

16

5

，4)．
∴弦長(zhǎng)2

4-d2

∈(0，

4 5

5

]．
故答案為：（0，

4 5

5

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，基本不等式等知識(shí)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．