Question

6．（1）試判斷函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$的奇偶性．
（2）已知關(guān)于x的函數(shù)g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-ax+3a），其中a是實(shí)常數(shù)．若g（x）在區(qū)間[2，+∞）上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的解析式可得函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．再根據(jù)f（-x）=-f（x），可得f（x）為奇函數(shù)．
（2）由題意可得h（x）=x²-ax+3a在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)，且h（x）=x²-ax+3a＞0恒成立，故有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤2}\\{h（2）4-2a+3a＞0}\end{array}\right.$，由此求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f〔x）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$，∴2^x-1≠0，即函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
∵f（-x）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{-x}-1}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{{2}^{x}}{{1-2}^{x}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{{-2}^{x}+1-1}{{2}^{x}-1}$=-（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$ ）=-f（x），故f（x）為奇函數(shù)．
（2）已知關(guān)于x的函數(shù)g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$〔x²-ax+3a），其中a是實(shí)常數(shù)．
若g（x）在區(qū)間[2，+∞）上是減函數(shù)，則h（x）=x²-ax+3a在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)，且h（x）=x²-ax+3a＞0恒成立．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤2}\\{h（2）4-2a+3a＞0}\end{array}\right.$，求得-4＜a≤4，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-4，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．