Question

11．已知函數f（x）=|2x-m|（m為常數），對任意x∈R，均有f（x+3）=f（-x）恒成立．有下列說法：
①f（x）是以3為周期的函數；
②若g（x）=f（x）+|2x-b|（b為常數）的圖象關于直線x=1對稱，則b=1；
③若0＜2α＜β+2且f（α）=f（β+3），則必有-$\frac{1}{12}$≤3α²+β＜$\frac{2}{3}$；
④已知定義在R上的函數F（x）對任意x均有F（x）=F（-x）成立，且當x∈[0，3]時，F（x）=f（x），又函數h（x）=-x²+c（c為常數），若存在x₁、x₂∈[-1，3]使得|F（x₁）-h（x₂）|＜1成立，則c的取值范圍是（-1，13）
其中說法正確的有②③④．

Answer 1

分析 ①由題意求出m值，可得f（x）=|2x-3|，其圖象關于直線x=$\frac{3}{2}$對稱，說明①錯誤；
②由函數g（x）=f（x）+|2x-b|（b為常數）的圖象關于直線x=1對稱，可得g（2-x）=g（x）解出即可；
③由f（α）=f（β+3）=f（-β），得α=-β或α-β=3，結合0＜2α＜β+2，得α=-β，且0$＜α＜\frac{2}{3}$，求出3α²+β的范圍判斷③；
④當x∈[0，3]時，F（x）=f（x）=|2x-3|，可得F（x）取值范圍；再利用F（x）是偶函數．可得當x∈[-1，0）時，F（x）=F（-x）=|2x+3|，可得F（x）的取值范圍．可得x∈[-1，3]時，F（x）的值域．由函數h（x）=-x²+c，x∈[-1，3]，利用二次函數的單調性可得h（x）_max，h（x）_min．存在x₁，x₂∈[-1，3]使得|F（x₁）-h（x₂）|＜1成立，只要|F（x）_min-h（x）_max|＜1，且|F（x）_max-h（x）_min|＜1．解出c的范圍判斷．

解答 解：①對任意的x∈R，f（x+3）=f（-x）恒成立?|2x+6-m|=|2x+m|?6-m=m，解得m=3，∴f（x）=|2x-3|，其圖象關于直線x=$\frac{3}{2}$對稱，
而關于y軸不對稱，因此不是偶函數，∴f（x+3）=f（-x）≠f（x），故①錯誤
②∵函數g（x）=f（x）+|2x-b|（b為常數）的圖象關于直線x=1對稱，
∴g（2-x）=g（x），∴|2（2-x）-3|+|2（2-x）-b|=|2x-3|+|2x-b|，對于任意實數恒成立．
化為|2x-1|+|2x-（4-b）|=|2x-3|+|2x-b|，對于任意實數恒成立，∴4-b=3，b=1，故②正確；
③由f（α）=f（β+3）=f（-β），得α=-β或α-β=3，又∵0＜2α＜β+2，∴α=-β，且0$＜α＜\frac{2}{3}$，
∴-$\frac{1}{12}$≤3α²+β＜$\frac{2}{3}$，故③正確；
④當x∈[0，3]時，F（x）=f（x）=|2x-3|，可得F（x）∈[0，3]；
∵定義在R上的函數F（x）對任意x均有F（x）=F（-x）成立，∴F（x）是偶函數．
∴當x∈[-1，0）時，F（x）=F（-x）=|-2x-3|=|2x+3|，可得F（x）∈[1，3）．
綜上可得：x∈[-1，3]時，F（x）∈[0，3]．
由函數h（x）=-x²+c，x∈[-1，3]，可得h（x）_max=c，h（x）_min=c-9．
∵存在x₁，x₂∈[-1，3]使得|F（x₁）-h（x₂）|＜1成立，
∴只要|F（x）_min-h（x）_max|=0-c＜1，且|F（x）_max-h（x）_min|=c-9-3＜1．
解得-1＜c且c＜13，因此c∈（-1，13），故④正確．
∴正確的命題是：②③④．
故答案為：②③④．

點評 本題考查了函數的奇偶性、對稱性、恒成立問題的等價轉化等基礎知識與基本技能方法，考查了分類討論和數形結合思想方法，屬于難題．