如圖，已知點A（11，0），函數(shù)y=
x+1
的圖象上的動點P在x軸上的射影為H，且點H在點A的左側(cè)．設(shè)|PH|=t，△APH的面積為f（t）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（t）的解析式及t的取值范圍；
（Ⅱ）求函數(shù)f（t）的最大值．
分析：（ I）S△APH=
1
2
PH×AH．其中AH=OA-OH，OH等于P的橫坐標，P的縱坐標即為|PH|=t，利用函數(shù)解析式可求OH．得出面積的表達式．
（ II）由（ I），面積為f(t)=
1
2
(12-t2)t，0＜t＜2
3
．利用導(dǎo)數(shù)工具研究單調(diào)性，求出最值．
解答：解：（ I）由已知可得
x+1
=t，所以點P的橫坐標為t2-1，
因為點H在點A的左側(cè)，所以t2-1＜11，即-2
3
＜t＜2
3
．
由已知t＞0，所以0＜t＜2
3
，
所以AH=11-（t2-1）=12-t2，
所以△APH的面積為f(t)=
1
2
(12-t2)t，0＜t＜2
3
．
（ II）f′(t)=6-
3
2
t2=-
3
2
(t+2)(t-2)，
由f'（t）=0，得t=-2（舍），或t=2．
函數(shù)f（t）與f'（t）在定義域上的情況如右圖：
所以當(dāng)t=2時，函數(shù)f（t）取得最大值8．
點評：本題考查了函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中有利用導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)在某一區(qū)間上的最值問題，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知點P為橢圓
x2
25
+
y2
9
=1在第一象限內(nèi)的任意一點，過橢圓的右頂點A和上頂點B分別作與y軸和x軸的平行線交于C，過P引BC、AC的平行線交AC于N，交BC于M，交AB于D、E，矩形PMCN的面積是S1，三角形PDE的面積是S2，則S1：S2=
1
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計20分．請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)．
A．（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，圓O的直徑AB=8，C為圓周上一點，BC=4，過C作圓的切線l，過A作直線l的垂線AD，D為垂足，AD與圓O交于點E，求線段AE的長．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
已知二階矩陣A有特征值λ1=3及其對應(yīng)的一個特征向量α1=
1
1
，特征值λ2=-1及其對應(yīng)的一個特征向量α2=
1
-1
，求矩陣A的逆矩陣A-1．
C．（選修4-4：坐標系與參數(shù)方程）
以平面直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系（兩種坐標系中取相同的單位長度），已知點A的直角坐標為（-2，6），點B的極坐標為(4，
π
2
)，直線l過點A且傾斜角為
π
4
，圓C以點B為圓心，4為半徑，試求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標方程．
D．（選修4-5：不等式選講）
設(shè)a，b，c，d都是正數(shù)，且x=
a2+b2
，y=
c2+d2
．求證：xy≥
(ac+bd)(ad+bc)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知點A（11，0），直線x=t（-1＜t＜11）與函數(shù)y=
x+1
的圖象交于點P，與x軸交于點H，記△APH的面積為f（t）．
（ I）求函數(shù)f（t）的解析式；
（ II）求函數(shù)f（t）的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選作題，本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩題評分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．（幾何證明選講）
如圖，AB是半圓的直徑，C是AB延長線上一點，CD切半圓于點D，CD=2，DE⊥AB，垂足為E，且E是OB的中點，求BC的長．
B．（矩陣與變換）
已知矩陣
12
2a
的屬于特征值b的一個特征向量為
1
1
，求實數(shù)a、b的值．
C．（極坐標與參數(shù)方程）
在平面直角坐標系xOy中，已知點A（1，-2）在曲線
x=2pt2
y=2pt
（t為參數(shù)，p為正常數(shù)），求p的值．
D．（不等式選講）
設(shè)a1，a2，a3均為正數(shù)，且a1+a2+a3=1，求證：
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
≥9．

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