設(shè)函數(shù)在[1,+∞)上是增函數(shù).
(1)求正實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)設(shè)b>0,a>1,求證:
【答案】分析:(1)求出f(x)的導(dǎo)函數(shù),因?yàn)楹瘮?shù)在[1,+∞)上是增函數(shù),即導(dǎo)函數(shù)大于等于0對(duì)x屬于[1,+∞)恒成立,令導(dǎo)函數(shù)大于等于0列出不等式,解出a大于等于x的倒數(shù),求出x倒數(shù)的最大值即可得到實(shí)數(shù)a的范圍;
(2)設(shè)x等于,由b大于0,a大于1,得出大于1,根據(jù)函數(shù)在[1,+∞)上是增函數(shù),得到f()大于f(1),化簡可得;設(shè)G(x)=x-lnx,且x大于1,求出G(x)的導(dǎo)函數(shù),根據(jù)x大于1得到導(dǎo)函數(shù)大于0,所以G(x)為增函數(shù),由x大于1,得到G(x)大于G(1)即x大于lnx,即可得到,綜上,得證.
解答:解:(1)對(duì)x∈[1,+∞)恒成立,
對(duì)x∈[1,+∞)恒成立,
,
∴a≥1為所求;
(2)取,

一方面,由(1)知在[1,+∞)上是增函數(shù),


;
另一方面,設(shè)函數(shù)G(x)=x-lnx(x>1),
,
∴G(x)在(1,+∞)上是增函數(shù)且在x=x處連續(xù),又G(1)=1>0,
∴當(dāng)x>1時(shí),G(x)>G(1)>0,
∴x>lnx即,
綜上所述,
點(diǎn)評(píng):此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,靈活運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解決實(shí)際問題,是一道綜合題.
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