Question

設(shè)函數(shù)在[1，+∞）上是增函數(shù)．
（1）求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)b＞0，a＞1，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在[1，+∞）上是增函數(shù)，即導(dǎo)函數(shù)大于等于0對(duì)x屬于[1，+∞）恒成立，令導(dǎo)函數(shù)大于等于0列出不等式，解出a大于等于x的倒數(shù)，求出x倒數(shù)的最大值即可得到實(shí)數(shù)a的范圍；
（2）設(shè)x等于，由b大于0，a大于1，得出大于1，根據(jù)函數(shù)在[1，+∞）上是增函數(shù)，得到f（）大于f（1），化簡可得；設(shè)G（x）=x-lnx，且x大于1，求出G（x）的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)x大于1得到導(dǎo)函數(shù)大于0，所以G（x）為增函數(shù)，由x大于1，得到G（x）大于G（1）即x大于lnx，即可得到，綜上，得證．
解答：解：（1）對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，
∴對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，
又，
∴a≥1為所求；
（2）取，
∵，
一方面，由（1）知在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴
∴
即；
另一方面，設(shè)函數(shù)G（x）=x-lnx（x＞1），
，
∴G（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)且在x=x處連續(xù)，又G（1）=1＞0，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，G（x）＞G（1）＞0，
∴x＞lnx即，
綜上所述，．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，靈活運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解決實(shí)際問題，是一道綜合題．