Question

9．利用函數(shù)的性質(zhì)（如單調(diào)性與奇偶性）來解不等式是我們常用方法，通過下列題組體會(huì)此方法的適用范圍及應(yīng)注意什么問題？
（1）已知函數(shù)f（x）=x|x-2|，則不等式f（$\sqrt{2}$-x）≤f（1）的解集為[-1，+∞）．
（2）已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）在x＞0時(shí)滿足f（x）=x⁴，且f（x+t）≤4f（x）在x∈[1，16]恒成立，則實(shí)數(shù)t的最大值是$\sqrt{2}$-1．
（3）已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2，x＞1}\\{（x-1）^{2}+2，x≤1}\end{array}$，則不等式f（1-x²）＞f（2x）的解集是{x|x＜-1-$\sqrt{2}$ 或 x＞-1+$\sqrt{2}$ }．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（1）=1，由f（x）=1，解得x=1+$\sqrt{2}$，由此根據(jù) f（$\sqrt{2}$-x）≤f（1）可得$\sqrt{2}$-x≤1+$\sqrt{2}$，由此求得x的范圍．
（2）先根據(jù)題意判斷出函數(shù)是單調(diào)增的，進(jìn)而把4f（x）轉(zhuǎn)化為f（$\sqrt{2}$x），利用函數(shù)的單調(diào)性建立不等式，根據(jù)x的范圍確定t的范圍．
（3）把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的2個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=x|x-2|，可得f（1）=1，
由f（x）=1，解得x=1+$\sqrt{2}$，
則由不等式f（$\sqrt{2}$-x）≤f（1）可得$\sqrt{2}$-x≤1+$\sqrt{2}$，求得x≥-1，
 故答案為：[-1，+∞）．
（2）已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）在x＞0時(shí)滿足f（x）=x⁴，且f（x+t）≤4f（x）在x∈[1，16]恒成立，
可得這個(gè)函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)的，而f（x+t）≤4f（x）等價(jià)于f（x+t）≤f（$\sqrt{2}$x）
故問題等價(jià)于當(dāng)x屬于[1，16]時(shí)，x+t≤$\sqrt{2}$x 恒成立，
將x+t≤$\sqrt{2}$x 變形為t≤（$\sqrt{2}$-1）x，∵x∈[1，16]，
∴只需t≤（$\sqrt{2}$-1）×1=$\sqrt{2}$-1，故t的最大值為$\sqrt{2}$-1，
故答案為：$\sqrt{2}$-1．
（3）已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2，x＞1}\\{（x-1）^{2}+2，x≤1}\end{array}$，則由不等式f（1-x²）＞f（2x），可得$\left\{\begin{array}{l}{1{-x}^{2}＜1}\\{2x＞1}\end{array}\right.$①，或1-x²＜2x≤1 ②．
解①求得x＞$\frac{1}{2}$，解②求得x＜-1-$\sqrt{2}$ 或-1+$\sqrt{2}$＜x≤$\frac{1}{2}$，
綜上可得，不等式的解集為{x|x＜-1-$\sqrt{2}$ 或 x＞-1+$\sqrt{2}$ }，
故答案為：{x|x＜-1-$\sqrt{2}$ 或 x＞-1+$\sqrt{2}$ }．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查解絕對(duì)值不等式，函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，以及分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．