Question

拋物線y²=4x上有兩個(gè)定點(diǎn)A、B分別在對(duì)稱軸的上、下兩側(cè)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，并且|FA|=2，|FB|=5，在拋物線AOB這段曲線上求一點(diǎn)P，使△PAB的面積最大，并求這個(gè)最大面積．

Answer 1

分析：由已知得F（1，0），點(diǎn)A在x軸上方，設(shè)A（x₁，y₁），y₁＞0，由|FA|=2得A（1，2），同理B（4，-4），所以直線AB的方程為2x+y-4=0．設(shè)在拋物線AOB這段曲線上任一點(diǎn)P（x₀，y₀），且0≤x₀≤4，-4≤y₀≤2，由點(diǎn)到直線距離公式能求出△PAB的面積最大值和此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：由已知得F（1，0），點(diǎn)A在x軸上方，
設(shè)A（x₁，y₁），y₁＞0，
由|FA|=2，
得x₁+1=2，x₁=1，
所以A（1，2），
同理B（4，-4），
所以直線AB的方程為2x+y-4=0．
設(shè)在拋物線AOB這段曲線上任一點(diǎn)P（x₀，y₀），
且0≤x₀≤4，-4≤y₀≤2．
則點(diǎn)P到直線AB的距離d=

|2x0+y0-4|

1+4

=

|2× y02 4 +y0-4|

5

=

| 1 2 (y0 +1)2- 9 2 |

5

，
所以當(dāng)y₀=-1時(shí)，d取最大值

9 5

10

，
又|AB|=3

5

，
所以△PAB的面積最大值為S=

1

2

×3

5

×

9 5

10

=

27

4

．
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

4

，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線距離公式的合理運(yùn)用．