Question

拋物線拋物線y²=4x上有兩個定點(diǎn)A （1，2）B（4，-4），在拋物線AOB這段曲線上求一點(diǎn)P，使△PAB的面積最大，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（　�。�

• A．（

  1

  4

  ，-1）
• B．（0，0）
• C．（1，-2）
• D．(

  1

  4

  ，1)

Answer 1

分析：根據(jù)題意并且結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式求出兩點(diǎn)的距離，由直線方程的兩點(diǎn)式求出直線AB的方程；由題意可得，求△PAB的面積最大值可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線的距離公式建立起點(diǎn)P到直線AB的距離的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的知識求出最值，即可求出面積的最大值以及此時的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：由A（1，2），B（4，-4）可得 |AB|=

(1-4)2+(2+4)2

=3

5

，
并且直線AB的方程為

y-2

-4-2

=

x-1

4-1

，化簡得2x+y-4=0．
設(shè)在拋物線AOB這段曲線上任一點(diǎn)P（x₀，y₀），且1≤x₀≤4，-4≤y₀≤2．
則點(diǎn)P到直線AB的距離d=

|2x0+y0-4|

1+4

=

|2× y0 2 4 +y0-4|

5

=

| 1 2 (y0+1)2- 9 2 |

5

，
所以當(dāng)y₀=-1時，d取最大值

9 5

10

，
所以△PAB的面積最大值為S=

1

2

×3

5

×

9 5

10

=

27

4

，
此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

4

，-1）．
故選A．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，熟練掌握兩點(diǎn)間距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，直線方程的求法對解答本題也很關(guān)鍵，本題考查了推理判斷的能力及符號運(yùn)用的能力，運(yùn)算量較大，直線與圓錐曲線的關(guān)系是近幾年高考對圓錐曲線考查的一個重要形式，題后要認(rèn)真總結(jié)此類題的做題規(guī)律．