Question

17．已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，邊長為a，PB=$\sqrt{3}$a，PD=a，PA=PC=$\sqrt{2}$a，且PD是四棱錐的高．
（1）在四棱錐內(nèi)翻入一球，求球的最大半徑；
（2）求四棱錐外接球的半徑．

Answer 1

分析 （1）當所放的球與四棱錐各面都相切時球的半徑最大，即球心到各個面的距離均相等，聯(lián)想到用體積法求解；
（2）（2）四棱錐可補成正方體，其直徑為PB=$\sqrt{3}$a，故可求四棱錐外接球的半徑．

解答 解：（1）設(shè)此球半徑為R，最大的球應(yīng)與四棱錐各個面都相切，
設(shè)球心為S，連SA、SB、SC、SD、SP，則把此四棱錐分為五個棱錐，設(shè)它們的高均為R
∵V_P-ABCD=V_S-PDA+V_S-PDC+V_S-ABCD+V_S-PAB+V_S-PBC
∴$\frac{1}{3}•a•a•a$=$\frac{1}{3}$R（2×$\frac{1}{2}•a•a$+2×$\frac{1}{2}•a•\sqrt{2}a$）
∴R=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$a．
∴球的最大半徑為$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$a
（2）四棱錐可補成正方體，其直徑為PB=$\sqrt{3}$a，故四棱錐外接球的半徑為$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．

點評 本題主要考查棱錐的性質(zhì)以及內(nèi)切外接的相關(guān)知識點．“內(nèi)切”和“外接”等有關(guān)問題，首先要弄清幾何體之間的相互關(guān)系，主要是指特殊的點、線、面之間關(guān)系，然后把相關(guān)的元素放到這些關(guān)系中解決問題，