Question

10．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，其中n∈N⁺，設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{{na}_{n}}{（2n+1）{2}^{n}}$，若存在正整數(shù)m，n使得b₁，b_m，b_n成等比數(shù)列，則m+n=14．

Answer 1

分析 由已知條件推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列．由此能求出an=2n，n∈N^*．由b_n=$\frac{{na}_{n}}{（2n+1）{2}^{n}}$，若b₁，b_m，b_n成等比數(shù)列，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到
（$\frac{m}{2m+1}$）²=$\frac{1}{3}$$•\frac{n}{2n+1}$．由此能求出當(dāng)且僅當(dāng)m=2，n=12．使得b₁，b_m，b_n成等比數(shù)列．

解答 解：∵a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，
∴（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，
又a_n＞0，∴2a_n-a_n+1=0，即2a_n=a_n+1，
∴數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列．
又a₁=2．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=2n，n∈N^*．
∵b_n=$\frac{{na}_{n}}{（2n+1）{2}^{n}}$=$\frac{n}{2n+1}$，要使b₁，b_m，b_n成等比數(shù)列，則（b_m）²=b₁•b_n，（$\frac{m}{2m+1}$）²=$\frac{1}{3}$$•\frac{n}{2n+1}$，
得$\frac{{m}^{2}}{4{m}^{2}+4m+1}=\frac{n}{6n+3}$，所以$\frac{3}{n}=\frac{-2{m}^{2}+4m+1}{{m}^{2}}$
∴-2m²+4m+1＞0，解得：1-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜m＜1+$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
又m∈N^*，且m＞1，∴m=2，此時(shí)n=12．
故當(dāng)且僅當(dāng)m=2，n=12．使得b₁，b_m，b_n成等比數(shù)列，此時(shí)m+n=14．
故答案為：14

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法、等比中項(xiàng)的性質(zhì)；關(guān)鍵是由m，n的關(guān)系得到關(guān)于m的不等式求出m的范圍．