Question

如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，且AB=AD，BC=DC．

（1）求證：平面EFGH；

（2）求證：四邊形EFGH是矩形．

 

Answer 1

【答案】

（1）要證明線面平行，則要根據(jù)題意，得到線線平行，即EH∥BD。

（2）證明一個(gè)四邊形是矩形，首先確定是平行四邊形，再證明一個(gè)角是直角來得到。

【解析】

試題分析：證明：（1）∵E，H分別為AB， DA的中點(diǎn)．

∴EH∥BD，又平面EFGH，平面EFGH,

平面EFGH；……4分

(2)取BD中點(diǎn)O，連續(xù)OA，OC．

∵ AB=AD，BC=DC．∴AO⊥BD，CO⊥BD，

又AO∩CO=0．∴BD⊥平面AOC．

∴BD⊥AC．                   ……7分

∵E，F(xiàn)，G，H為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．

∴EH∥BD，且EH=BD；FG∥BD，且FG=BD，EF∥AC．

∴EH∥FG，且EH=FG．

∴四邊形EFGH是平行四邊形．……10分

由（2）可知AC⊥BD，又EF∥AC，EH∥BD．

∴EF⊥EH．

∴四邊形EFGH為矩形．   ……12分

考點(diǎn)：線面平行，矩形

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了空間中線面平行的證明，以及關(guān)于平面四邊形的形狀的確定，屬于基礎(chǔ)題。