Question

對于兩個(gè)定義域相同的函數(shù)f（x），g（x），若存在實(shí)數(shù)m，n使h（x）=mf（x）+ng（x），則稱函數(shù)h（x）是由“基函數(shù)f（x），g（x）”生成的。
（1）若f（x）=x²+3x和g（x）=-3x+4生成一個(gè)偶函數(shù)h（x），求h（2）的值；
（2）若h（x）=2x²+3x-1由函數(shù)f（x）=x²+ax，g（x）=x+b（a，b∈R，且ab≠0）生成，求a+2b的取值范圍；
（3）試?yán)�用“基函�?shù)f（x）=log₄（4x+1），g（x）=x-1”生成一個(gè)函數(shù)h（x），使之滿足下列條件：
①是偶函數(shù)；②有最小值1；求出函數(shù)h（x）的解析式并進(jìn)一步研究該函數(shù)的單調(diào)性（無需證明）。

Answer 1

解：（1）設(shè)
∵h(yuǎn)（x）是偶函數(shù)，∴m+n=0，∴h（2）=10m+10n=0
（2）設(shè)
∴
由ab≠0知，n≠3，∴
（3）設(shè)
∵h(yuǎn)（x）是偶函數(shù)，∴h（-x）-h（x）=0
即，∴得m=-2n
則
，∵h(yuǎn)（x）有最小值則必有n<0，且有-2n=1
∴m=1，n=，
h（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，在（-∞，0]上為減函數(shù)。