Question

已知△ABC的周長(zhǎng)為6，且．
（1）求角C；
（2）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

解：（1）…（2分）
因?yàn)?＜C＜π，所以，則…（3分）
所以，即…（5分）
（2）c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab，…（6分）
又c=6-a-b，則a²+b²-ab=（6-a-b）²=36+a²+b²-12a-12b+2ab（7分）
整理可得，4（a+b）=12+ab…（8分）

所以…（9分）
則或，…（10分）
若，則ab≥36，那么4（a+b）=12+ab≥48，即a+b≥12，這與周長(zhǎng)為6相矛盾，應(yīng)舍去，
因此，，則ab≤4…（12分）
所以…（14分）
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=2時(shí)等號(hào)成立，
所以，△ABC的面積有最小值為…（15分）
分析：（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和為π，把A+B換掉，再結(jié)合二倍角公式即可求角C；
（2）先根據(jù)周長(zhǎng)得到c=6-a-b，再結(jié)合余弦定理得到4（a+b）=12+ab；根據(jù)基本不等式即可求出ab的取值范圍進(jìn)而得到△ABC面積的最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查基本不等式以及余弦定理的應(yīng)用．解決第二問(wèn)的關(guān)鍵在于根據(jù)周長(zhǎng)得到c=6-a-b，再結(jié)合余弦定理得到4（a+b）=12+ab．