Question

已知二次函數(shù)g（x）的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足g（x+1）=g（x）+2x+1，設(shè)函數(shù)f（x）=mg（x）-ln（x+1），其中m為非零常數(shù)
（1）求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）當(dāng)-2＜m＜0時(shí)，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性并且說明理由；
（3）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln(

1

n

+1)＞

1

n2

-

1

n3

恒成立．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出g（x）=ax²+bx+c，由g（x）圖象過原點(diǎn)頂點(diǎn)c=0，根據(jù)g（x+1）=g（x）+2x+1求出a和b即可頂點(diǎn)g（x）的解析式；
（2）求出f（x）的定義域和其導(dǎo)函數(shù)，利用二次函數(shù)求出導(dǎo)函數(shù)的最大值小于0即導(dǎo)函數(shù)恒小于0，得到函數(shù)單調(diào)遞減；
（3）取m=1，得到f（x）的解析式，然后設(shè)h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1），求出h′（x）得到其恒大于0，h（x）在
（0，+∞）為增函數(shù)即h（x）大于h（0）=0，即可得到ln（x+1）＞x²-x³恒成立，令x=

1

n

（n為正整數(shù)）得證．

解答：解：（1）設(shè)g（x）=ax²+bx+c，g（x）的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以c=0．
∵g（x+1）=g（x）+2x+1∴a（x+1）²+b（x+1）=ax²+bx+2x+1
即：ax²+（2a+b）x+a+b=ax²+（b+2）x+1
∴a=1，b=0，g（x）=x²；
（2）函數(shù)f（x）=mx²-ln（x+1）的定義域?yàn)椋?1，+∞）．f′(x)=2mx-

1

x+1

=

2mx2+2mx-1

x+1

，
令k（x）=2mx²+2mx-1，k(x)=2m(x+

1

2

)2-

m

2

-1，k(x)max=k(-

1

2

)=-

m

2

-1，
∵-2＜m＜0，∴k(x)max=-

m

2

-1＜0，k（x）=2mx²+2mx-1＜0在（-1，+∞）上恒成立，
即f′（x）＜0，當(dāng)-2＜m＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在定義域（-1，+∞）上單調(diào)遞減．
（3）當(dāng)m=1時(shí)，f（x）=x²-ln（x+1）．，令h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1），
則h′(x)=

3x3+(x-1)2

x+1

在[0，+∞）上恒正，
∴h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，恒有h（x）＞h（0）=0．，
即當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，有x³-x²+ln（x+1）＞0，ln（x+1）＞x²-x³，
對(duì)任意正整數(shù)n，取x=

1

n

得ln(

1

n

+1)＞

1

n2

-

1

n3

．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)根據(jù)條件確定二次函數(shù)的解析式，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式．