已知二次函數g(x)的圖象經過坐標原點,且滿足g(x+1)=g(x)+2x+1,設函數f(x)=m[g(x+1)-1]-lnx,其中m為常數且m≠0.
(1)求函數g(x)的解析式;
(2)當-2<m<0時,判斷函數f(x)的單調性并且說明理由.
分析:(1)用待定系數法設g(x)=ax2+bx+c,再據題設條件建立方程求參數,c=0易求,求a,b要求正確理解g(x+1)=g(x)+2x+1恒成立這一特性,即理解函數相等的意義,通過函數相等轉化出關于a,b的方程求值.
(2)解出函數f(x)的表達式及其定義域,再求導,依據參數m的取值范圍來判斷導數的符號,確定函數f(x)在定義域上的單調性,解答本題時要注意答題格式.
解答:解:(1)設g(x)=ax
2+bx+c,g(x)的圖象經過坐標原點,所以c=0.
∵g(x+1)=g(x)+2x+1∴a(x+1)
2+b(x+1)=ax
2+bx+2x+1
即:ax
2+(2a+b)x+a+b=ax
2+(b+2)x+1
∴a=1,b=0,g(x)=x
2;(6分)
(2)當-2<m<0時,判斷函數f(x)在其定義域上單調遞減,證明如下:
∵函數f(x)=mx
2+2mx-lnx的定義域為(0,+∞),
∴
f′(x)=2mx+2m-=.
令k(x)=2mx
2+2mx-1,
k(x)=2m(x+)2--1,
∵-2<m<0,∴k(x)=2mx
2+2mx-1<0在(0,+∞)上恒成立,
即f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立.
∴當-2<m<0時,函數f(x)在定義域(0,+∞)上單調遞減.(13分)
點評:考查函數相等,求定義域的方法,用導數數判斷函數的單調性,綜合性較強.