Question

（文）如果方程x²+y²+2mx-4y+5m=0表示一個圓，
（1）求m的取值范圍；
（2）當m=0時的圓與直線l：kx-y+2

3

k=0相交，求直線l的傾斜角的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將方程配方后，根據(jù)此方程表示一個圓，利用二元二次方程表示圓的條件列出關于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范圍；
（2）將m=0代入（1）的圓方程中，確定圓的方程，找出圓心坐標和半徑r，由直線l與圓相交得到圓心到直線的距離小于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范圍，根據(jù)直線斜率與傾斜角的關系，即可得到傾斜角的范圍．

解答：解：（1）將方程配方得（x+m）²+（y-2）²=m²-5m+4，
∵方程表示圓，
∴m²-5m+4＞0，
解得：m＜1或，m＞4，
∴m的取值范圍為（-∞，1）∪（4，+∞）；
（2）當m=0時，圓的方程為x²+（y-2）²=4，
∵直線與圓相交，
∴

|2 3 k-2|

k2+1

＜2，
解得0＜k＜

3

，
設直線l的傾斜角為α，則0＜tanα＜

3

，
又α∈[0，π），
∴0＜α＜

π

3

，
∴直線l的傾斜角的取值范圍為（0，

π

3

）．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：圓的標準方程，二元二次方程表示圓的條件，點到直線的距離公式，以及直線斜率與傾斜角的關系，當d=r時，直線與圓相切；當d＜r時，直線與圓相交；當d＞r時，直線與圓相離．