15．正四面體ABCD的棱AD與面ABC所成角的大小為arccos$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

分析 在正四面體ABCD中，過D作DH⊥平面ABC于點H，則H為底面正三角形ABC的外心，連接DH，則∠DAH=α，就是AD與平面ABC所成角，解直角三角形ADH即可．

解答 解：在正四面體ABCD中，過D作DH⊥平面ABC于點H，高為DH，
則H為底面正三角形ABC的外心，則∠DAH=α，就是AD與平面ABC所成角，
在Rt△ADH中，設(shè)棱長為a，
則AH=a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，
∴cosα=$\frac{AH}{AD}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}a}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．α=arccos$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：arccos$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 考查直線和平面所成的角，關(guān)鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影，把空間角轉(zhuǎn)化為平面角求解，屬中檔題．

練習(xí)冊系列答案
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