Question

20．已知函數(shù)f（x）=|x²-x|-ax．
（1）當(dāng)a=$\frac{1}{3}$時(shí)，求方程f（x）=0的根；
（2）當(dāng)a≤-1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[-2，3]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)解方程的方法解方程即可
（2）先化為分段函數(shù)，在分類(lèi)討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出最值

解答 解：（1）f（x）=|x²-x|-ax=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-（a+1）x，x≤0或x≥1}\\{-{x}^{2}+（1-a）x，0＜x＜1}\end{array}\right.$
當(dāng)a=$\frac{1}{3}$時(shí)，當(dāng)x≤0或x≥1時(shí)，x²-$\frac{4}{3}$x=0，解得x=0，或x=$\frac{4}{3}$，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，-x²+$\frac{2}{3}$x=0，解得x=$\frac{2}{3}$，
綜上所述方程的根為0，$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$，
（2）當(dāng)a≤-1時(shí)，函數(shù)y=-x²+（1-a）x的對(duì)稱(chēng)軸x=$\frac{1-a}{2}$≥1，所以函數(shù)f（x）在（0，1）上為增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)y=x²-（a+1）x的對(duì)稱(chēng)軸x=$\frac{a+1}{2}$≤0，可知函數(shù)f（x）在（-∞，$\frac{a+1}{2}$]上為減函數(shù)，在[$\frac{a+1}{2}$，+∞）上為增函數(shù)．
（1）當(dāng)$\frac{a+1}{2}$≤-2，即a≤-5時(shí)，
函數(shù)f（x）在[-2，3]上是單調(diào)遞增函數(shù)，f（x）的最小值為f（-2）=2a+6，
（2）當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{a≤-1}\\{\frac{a+1}{2}＞2}\end{array}\right.$，即-5＜a≤1時(shí)，
函數(shù)f（x）在[-2，$\frac{a+1}{2}$]上單調(diào)遞減，在[$\frac{a+1}{2}$，3]上單調(diào)遞增，
f（x）的最小值為f（$\frac{a+1}{2}$）=-$\frac{（a+1）^{2}}{4}$
綜上所述，函數(shù)f（x）的最小值[f（x）]_min=$\left\{\begin{array}{l}{2a+6，a≤-5}\\{-\frac{（a+1）^{2}}{4}，-5＜a≤-1}\end{array}\right.$

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及最值問(wèn)題，培養(yǎng)了學(xué)生的分類(lèi)討論的思想，屬于中檔題