9．求棱長為a的正四面體的內(nèi)切球和外接球的體積之比．

分析 畫出圖形，確定兩個球的關(guān)系，通過正四面體的體積，求出兩個球的半徑的比值，即可求棱長為a的正四面體的內(nèi)切球和外接球的體積之比．

解答 解：設(shè)正四面體為PABC，兩球球心重合，設(shè)為O．
設(shè)PO的延長線與底面ABC的交點為D，則PD為正四面體PABC的高，PD⊥底面ABC，且PO=R，OD=r，OD=正四面體PABC內(nèi)切球的高．
設(shè)正四面體PABC底面面積為S．
將球心O與四面體的4個頂點PABC全部連接，
可以得到4個全等的正三棱錐，球心為頂點，以正四面體面為底面．
每個正三棱錐體積V1=$\frac{1}{3}$•S•r 而正四面體PABC體積V2=$\frac{1}{3}$•S•（R+r）
根據(jù)前面的分析，4•V1=V2，
所以，4•$\frac{1}{3}$•S•r=$\frac{1}{3}$•S•（R+r），
所以，R=3r
所以棱長為a的正四面體的內(nèi)切球和外接球的體積之比為1：27．

點評 本題是中檔題，考查正四面體的內(nèi)切球與外接球的關(guān)系，找出兩個球的球心重合，半徑的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力，計算能力，屬于中檔題

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

11．某校舉行高二理科學生的數(shù)學與物理競賽，并從中抽取72名學生進行成績分析，所得學生的及格情況統(tǒng)計如表：
 物理及格物理不及格合計
數(shù)學及格28836
數(shù)學不及格162036
合計442872
（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷是否是99%的把握認為“數(shù)學及格與物理及格有關(guān)”；
（2）從抽取的物理不及格的學生中按數(shù)學及格與不及格的比例，隨機抽取7人，再從抽取的7人中隨機抽取2人進行成績分析，求至少有一名數(shù)學及格的學生概率．
附：x2=$\frac{n（{n}_{11}{n}_{22}-{n}_{21}{n}_{12}）^{2}}{{n}_{1}•{n}_{2}•{n}_{+1}•{n}_{+2}}$．
P（X2≥k）0.1500.1000.0500.010
k2.0722.7063.8416.635

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

12．在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3cosα\\ y=\sqrt{3}sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，直線l的極坐標方程為$ρcos（θ+\frac{π}{3}）=\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求直線l的直角坐標方程和曲線C的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)點P為曲線C上任意一點，求點P到直線l的距離的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

9．已知四個函數(shù)：①y=-x，②y=-$\frac{1}{x}$，③y=x3，④y=x${\;}^{\frac{1}{2}}$，從中任選2個，則事件“所選2個函數(shù)的圖象有且僅有一個公共點”的概率為$\frac{1}{3}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

4．在1907年的一項關(guān)于16艘輪船的研究中，船的噸位區(qū)間從192t～3246t，船員的人數(shù)從5人到32人，由船員人數(shù)關(guān)于噸位的回歸分析得到如下結(jié)果：$\widehat{y}$=9.5+0.0062x，假定的兩艘輪船的噸位相差1000t，船員平均人數(shù)相差6人，對于最小的船估計的船員人數(shù)是11人，對于最大的船估計的船員人數(shù)是31人．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

14．已知函數(shù)$f（x）={x^3}-\frac{（3+a）}{2}{x^2}+ax$在（1，2）上不存在最值，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�
A．（1，2）B．（-∞，1]∪[2，+∞）C．（-∞，3]∪[6，+∞）D．（3，6）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

1．在我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱之為塹堵，如圖，在塹堵ABC-A1B1C1中，AB=BC，AA1＞AB，塹堵的頂點C1到直線A1C的距離為m，C1到平面A1BC的距離為n，則$\frac{m}{n}$的取值范圍是（　　）
A．（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）B．（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）C．（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$）D．（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{2}$）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

18．為了解高中生對電視臺某節(jié)目的態(tài)度，在某中學隨機調(diào)查了110名學生，得到如下列聯(lián)表：
男女總計
喜歡402060
不喜歡203050
總計6050110
由${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$算得${K^2}=\frac{{110×{{（{40×30-20×20}）}^2}}}{60×50×60×50}≈7.8$．
附表：
P（K2≥k）0.0500.0100.001
k3.8416.63510.828
參照附表，得到的正確結(jié)論是（　�。�
A．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“喜歡該節(jié)目與性別有關(guān)”
B．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“喜歡該節(jié)目與性別無關(guān)”
C．有99%以上的把握認為“喜歡該節(jié)目與性別有關(guān)”
D．有99%以上的把握認為“喜歡該節(jié)目與性別無關(guān)”

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

19．在平面直角坐標系xoy中，已知點A（0，-2），點B（1，-1），P為圓x2+y2=2上一動點，則$\frac{{|\overrightarrow{PB}|}}{{|\overrightarrow{PA}|}}$的最大值是$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

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