Question

19．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)A（0，-2），點(diǎn)B（1，-1），P為圓x²+y²=2上一動(dòng)點(diǎn)，則$\frac{{|\overrightarrow{PB}|}}{{|\overrightarrow{PA}|}}$的最大值是$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意，設(shè)P（$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求出和兩點(diǎn)之間的距離公式，轉(zhuǎn)化為斜率問(wèn)題即可求出．

解答 解：∵P為圓x²+y²=2上一動(dòng)點(diǎn)，∴設(shè)P（$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），（0≤θ＜2π）．
∵點(diǎn)A（0，-2），點(diǎn)B（1，-1），
∴$\overrightarrow{PB}$=（1-$\sqrt{2}$cosθ，-1-$\sqrt{2}$sinθ），$\overrightarrow{PA}$=（0-$\sqrt{2}$cosθ，-2-$\sqrt{2}$sinθ）
∴$\frac{|\overrightarrow{PB}|}{|\overrightarrow{PA}|}$=$\frac{\sqrt{（1-\sqrt{2}cosθ）^{2}+（1+\sqrt{2}sinθ）^{2}}}{\sqrt{（\sqrt{2}cosθ）^{2}+（2+\sqrt{2}sinθ）^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{2}•\frac{-1-\sqrt{2}cosθ}{-3-\sqrt{2}sinθ}}$，
把$\frac{-1-\sqrt{2}cos}{-3-\sqrt{2}sinθ}$看成是點(diǎn)（-1，-3）與圓x²+y²=2一點(diǎn)P（$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ）的斜率問(wèn)題．
設(shè)k=$\frac{-1-\sqrt{2}cos}{-3-\sqrt{2}sinθ}$，求k的最小值可得$\frac{{|\overrightarrow{PB}|}}{{|\overrightarrow{PA}|}}$的最大值．
設(shè)過(guò)（-1，-3）的直線(xiàn)方程為：y+3=k（x+1），即kx-y+k-3=0，
圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑：即d=$\sqrt{2}$=$\frac{|k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，解得k=-7或1．即k的最小值為-7．
∴$\frac{{|\overrightarrow{PB}|}}{{|\overrightarrow{PA}|}}$的最大值為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的參數(shù)方程和三角函數(shù)的有界限的運(yùn)用．計(jì)算量大，屬于中檔題．