Question

18．如圖1，在邊長為$2\sqrt{3}$的正方形ABCD中，E、O分別為 AD、BC的中點，沿 EO將矩形ABOE折起使得∠BOC=120°，如圖2，點G 在BC上，BG=2GC，M、N分別為AB、EG中點．
（Ⅰ）求證：OE⊥MN；
（Ⅱ）求點M到平面OEG的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取OG的中點的H，連結HN，HB，證明$HN=\frac{1}{2}OE$，推出四邊形MNHB為平行四邊形，得到MN∥BH，證明OE⊥平面OBC，然后推出OE⊥MN．
（Ⅱ）說明點M到平面OEG的距離為點B到平面OEG的距離，在三角形OBC中，推出∠OBG=30°，在△OBC中，求出BG=2，求出OG，然后求解點B到平面OEG的距離．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）如圖6，取OG的中點的H，連結HN，HB，…（1分）
由N為EG中點，得△GOE中位線HN∥OE，且$HN=\frac{1}{2}OE$，
又BM∥OE，M為且AB中點，故$BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}OE$，
∴HN∥BM，且HN=BM∴四邊形MNHB為平行四邊形，
∴MN∥BH．…（2分）
在正方形ABCD中，E、O分別為 AD、BC的中點
∴$\left\{\begin{array}{l}OE⊥OB\\ OE⊥OC\\ OB∩OC=O\end{array}\right.$得OE⊥平面OBC，…（3分）
又BH?平面OBC，∴OE⊥BH，∴OE⊥MN．…（5分）
（Ⅱ）解：∵在邊長為$2\sqrt{3}$的正方形ABCD中，E、O分別為 AD、BC的中點
∴AB∥OE，又OE?平面OEG，AB?平面OEG，∴AB∥平面OEG，…（6分）
∴點M到平面OEG的距離為點B到平面OEG的距離．…（7分）
在三角形OBC中，OB=OC=$\sqrt{3}$，∠BOC=120°，∴∠OBG=30°，
在△OBC中，由余弦定理得BC=3，又BG=2GC，∴BG=2，
同法由余弦定理得OG=1，…（9分）
∴OB²+OG²=BG²，即OB⊥OG．
由（Ⅰ）知OE⊥平面OBC，又OB?平面OBC，∴OE⊥OB，
又OE∩OG=O，∴BO⊥平面OEG，…（11分）
∴點B到平面OEG的距離為BO=$\sqrt{3}$．
即點M到平面OEG的距離為$\sqrt{3}$．…（12分）

點評 本題列出直線與平面垂直的性質定理的應用，點到平面的距離的求法，考查空間想象能力以及計算能力．