Question

13．已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線(xiàn)$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（a，b＞0）$的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)其中一個(gè)焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)另一條漸近線(xiàn)于點(diǎn)M，若點(diǎn)M在以線(xiàn)段F₁F₂為直徑的圓內(nèi)，則雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （1，2）
• B． （2，+∞）
• C． $（1，\;\sqrt{2}）$
• D． $（\sqrt{2}，\;+∞）$

Answer 1

分析 不妨設(shè)F₁（0，c），F(xiàn)₂（0，-c），則過(guò)F₁與漸近線(xiàn)$y=\frac{a}x$平行的直線(xiàn)為$y=\frac{a}x+c$，聯(lián)立直線(xiàn)組成方程組，求出M坐標(biāo)，利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，列出不等式然后求解離心率即可．

解答 解：如圖1，不妨設(shè)F₁（0，c），F(xiàn)₂（0，-c），則過(guò)F₁與漸近線(xiàn)$y=\frac{a}x$平行的直線(xiàn)為$y=\frac{a}x+c$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{a}x+c\\ y=-\frac{a}x\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{bc}{2a}\\ y=\frac{c}{2}\end{array}\right.$即$M（-\frac{bc}{2a}，\frac{c}{2}）$
因M在以線(xiàn)段F₁F₂為直徑的圓x²+y²=c²內(nèi)，
故${（-\frac{bc}{2a}）^2}+{（\frac{c}{2}）^2}＜{c^2}$，化簡(jiǎn)得b²＜3a²，
即c²-a²＜3a²，解得$\frac{c}{a}＜2$，又雙曲線(xiàn)離心率$e=\frac{c}{a}＞1$，所以雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是（1，2）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系的應(yīng)用，雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及計(jì)算能力．