Question

已知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，其前n項和為S_n，且-1，n∈N^*，數(shù)列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂…，b_n-b_n-1是首項為1，公比為的等比數(shù)列．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）若c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由，知，由此能夠證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．并求出a_n．
（Ⅱ），，先求數(shù)列的前n項和A_n．由此能求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．
解答：（本題滿分12分）
解（Ⅰ）∵，
∴
當
=
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，∴a_n-a_n-1=2，又a₁=1，
故數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．且a_n=2n-1．…（4分）
（Ⅱ）∵…（6分）
∴…（7分）
先求數(shù)列的前n項和A_n．
∵
，
A_n=3-，
∴，
∴．…（12分）
點評：本題考查等差數(shù)列的證明，求數(shù)列的前n項和，解題時要認真審題，仔細解答，注意迭代法和錯位相減法的合理運用．