Question

5．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B，圓O以橢圓C的中心為圓心，半徑等于線段BF的長(zhǎng)．
（1）求圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過F的直線L與圓O交于A，B兩點(diǎn)，問圓O上是否存在點(diǎn)P滿足條件$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$；若存在，請(qǐng)求出直線L的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知可得圓O的半徑，即為橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)，圓心在原點(diǎn)，則圓O的方程可求；
（2）直線L過定點(diǎn)F，對(duì)直線L的斜率是否存在進(jìn)行討論，P點(diǎn)滿足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，且在圓O上，然后對(duì)P驗(yàn)證即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意，BF=a=2，圓O的圓心為原點(diǎn)，
∴圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+y²=4；
（2）當(dāng)直線L的斜率不存在時(shí)，直線L的方程為x=1，則A（1，$\sqrt{3}$），B（1，-$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=（2，0）$，若$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$成立，則P的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)P（2，0）在圓O上，滿足題意；
當(dāng)直線L的斜率存在時(shí)，設(shè)直線L的方程為y=kx-k（k≠0），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-k}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，${y}_{1}+{y}_{2}=k（{x}_{1}+{x}_{2}）-2k=-\frac{2k}{1+{k}^{2}}$．
若$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$成立，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}，-\frac{2k}{1+{k}^{2}}$），
且點(diǎn)P（$\frac{2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}，-\frac{2k}{1+{k}^{2}}$）在圓x²+y²=4上，
∴$（\frac{2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}）^{2}+（-\frac{2k}{1+{k}^{2}}）^{2}=4$．
化簡(jiǎn)得：k²=k²+1，無解．
綜上，存在唯一一條直線x=1滿足題意．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線與圓、直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查平面向量在求解直線與圓錐曲線問題中的應(yīng)用，是中檔題．