Question

巳知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1與雙曲線

x2

2

-y²=1有公共焦點，且離心率為

3

2

．A、B分別是橢圓C的左頂點和右頂點．點S是橢圓C上位于x軸上方的動點．直線AS，BS分別與直線l：x=

10

3

分別交于M，N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）試判斷以SM為直徑的圓是否過點B，并說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

c= 3 c a = 3 2 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)直線AS：y=k（x+2），則M（

10

3

，

16k

3

），由

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，由此利用韋達定理結(jié)合已知條件得

BS

•

BM

=（-

16k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

）•（

4

3

，

16k

3

）=0，由此能證明以SM為直徑的圓過點B．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1與雙曲線

x2

2

-y²=1有公共焦點（-

3

，0），（

3

，0），
且離心率為

3

2

，
∴

c= 3 c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得a=2，c=

3

，b=1，
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1．
（2）由題意知直線AS的斜率k存在，且k＞0，設(shè)直線AS：y=k（x+2），
∵直線AS，BS分別與直線l：x=

10

3

分別交于M，N兩點，∴M（

10

3

，

16k

3

），
由

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，
設(shè)S（x₁，y₁），則（-2）x₁=

16k2-4

1+4k2

，∴x1=

2-8k2

1+4k2

，從而y1=

4k

1+4k2

，
∴S（

2-8k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

），又B（2，0），
從而

BS

=（-

16k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

），

BM

=（

4

3

，

16k

3

），

BS

•

BM

=（-

16k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

）•（

4

3

，

16k

3

）=0，
∴

BS

⊥

BM

，
∴以SM為直徑的圓過點B．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查以SM為直徑的圓是否過點B的判斷與證明，解題時要認真審題，注意向量的數(shù)量積的合理運用．