Question

已知f（x）=ax-2-lnx（a∈R），當(dāng)x＞0時(shí)，求證f（x）-ax+e^x＞0．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：構(gòu)造g（x）=e^x-2-lnx，兩次對(duì)g（x）求導(dǎo)，再令h（x）=g′（x）=0，令x=m（0＜m＜1），h（x）=0，即e^m=

1

m

，-m=lnm，再討論0＜x＜m，x＞m，g（x）的單調(diào)性，得到g（x）＞g（m），由基本不等式證明g（m）＞0即可．

解答： 證明：∵f（x）=ax-2-lnx（x＞0），
∴令g（x）=f（x）-ax+e^x=e^x-2-lnx，
∵g′（x）=e^x-

1

x

，
令h（x）=g′（x），則h′（x）=e^x+

1

x2

＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
令x=m（0＜m＜1），h（x）=0，即e^m=

1

m

，-m=lnm，
當(dāng)0＜x＜m時(shí)，h（x）＜0，則g（x）在（0，m）上遞減，g（x）＞g（m）=e^m-2-lnm=

1

m

+m-2＞2-2，
即g（x）＞0；
當(dāng)x＞m時(shí)，h（x）＞0，則g（x）在（m，+∞）上遞增，g（x）＞g（m）=

1

m

+m-2＞2-2，
即g（x）＞0．
故當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）-ax+e^x＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及構(gòu)造函數(shù)的思想，考查函數(shù)的單調(diào)性和應(yīng)用，屬于中檔題．