Question

5．定義域R上的函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+3同時(shí)滿足以下條件：f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；
①f′（x）是偶函數(shù)；
②f（x）在x=0處的切線與直線為x+2=y垂直．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=lnx-$\frac{m}{x}$，若存在x∈[1，e]使g（x）＜f′（x），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）欲求解析式中的三個(gè)參數(shù)，則尋找三個(gè)參數(shù)的三個(gè)等式即可，根據(jù)f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，可得f′（1）=0，根據(jù)f′（x）是偶函數(shù)可求出b，最后根據(jù)f（x）在x=0處的切線與直線y=x+2垂直，建立關(guān)系式即可求出函數(shù)的解析式；
（2）將參數(shù)m分離出來(lái)，即存在x∈[1，e]，使m＞xlnx-x³+x，然后研究不等式右邊的函數(shù)的最小值即可求出m的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f′（1）=3a+2b+c=0①
由f′（x）是偶函數(shù)得：b=0②
又f（x）在x=0處的切線與直線y=x+2垂直，f′（0）=c=-1③
由①②③得：a=$\frac{1}{3}$，b=0，c=-1，
即有f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x+3；
（2）由已知得：存在x∈[1，e]，使lnx-$\frac{m}{x}$＜x²-1，
即存在x∈[1，e]，使m＞xlnx-x³+x
設(shè)M（x）=xlnx-x³+x，x∈[1，e]，
則M′（x）=lnx-3x²+2，
設(shè)H（x）=M′（x）=lnx-3x²+2，則H′（x）=$\frac{1}{x}$-6x=$\frac{1-6{x}^{2}}{x}$，
∵x∈[1，e]，∴H'（x）＜0，即H（x）在[1，e]遞減，
于是，H（x）≤H（1），即H（x）≤-1＜0，即M′（x）＜0
∴M（x）在[1，e]上遞減，∴M（x）≥M（e）=2e-e³
于是有m＞2e-e³為所求．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及在某點(diǎn)處的切線問(wèn)題，同時(shí)考查了存在性問(wèn)題，是一道函數(shù)綜合題，考查學(xué)生的基本功．