Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱柱垂直底面∠ACB=90°，AC=BC=CC₁=2．
（Ⅰ）求證：AB₁⊥BC₁；
（Ⅱ）求二面角C₁-AB₁-A₁的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）AB₁和BC₁是異面直線，幾何體中隱含較多的垂直關(guān)系，常常利用線面垂直找出線線垂直．可以通過證明AC⊥BC₁，得出BC₁⊥平面AB₁C，再證出AB₁⊥BC₁
（Ⅱ）取A₁B₁的中點(diǎn)為H，在平面A₁ABB₁內(nèi)過H作HQ⊥AB₁于Q，連接C₁Q，則∠C₁QH是二面角C₁-AB₁-A₁的平面角，在RT△C₁QH中求解即可．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵AC⊥BC，AC⊥CC₁且 BC∩CC₁=C，
∴AC⊥平面C₁CBB₁，又∵BC₁?平面C₁CBB₁，
∴AC⊥BC₁，又B₁C⊥BC₁且AC∩B₁C=C，
∴BC₁⊥平面AB₁C，又AB₁?平面AB₁C，
∴AB₁⊥BC₁．
（Ⅱ）解：取A₁B₁的中點(diǎn)為H，在平面A₁ABB₁內(nèi)過H作HQ⊥AB₁于Q，
連接C₁Q，則C₁H⊥平面A₁ABB₁，
所以C₁H⊥AB₁，而且C₁H∩HQ=H，所以AB₁⊥平面C₁HQ，
所以AB₁⊥C₁Q，
所以∠C₁QH是二面角C₁-AB₁-A₁的平面角，
又C₁H=

2

=B₁H，在△A₁AB₁內(nèi)，由勾股定理求出AB₁=2

3

，

B1H

AB1

=

HQ

AA1

，即

2

2 3

=

HQ

2

，解得HQ=

6

3

，
所以，tan∠C₁QH=

C1H

HQ

=

3

，
所以，二面角C₁-AB₁-A₁的平面角為60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線和直線垂直的判定．空間角求解．考查空間想象、推理論證，運(yùn)算求解能力．