Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+（b-2）x+3（a≠0）．
（1）若不等式f（x）＞0的解集為（-1，3），求a，b的值；
（2）若f（1）=3，a＞0，b＞0，求$\frac{1}{a}+\frac{4}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由不等式f（x）＞0的解集（-1，3）．-1，3是方程f（x）=0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可求a，b值；
（2）由f（1）=3，得到a+b=2，將所求變形為$\frac{1}{2}$（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{4}$）展開，整理為基本不等式的形式求最小值．

解答 解：（1）由f（x）＞0的解集是（-1，3）知-1，3是方程f（x）=0的兩根，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得$\left\{\begin{array}{l}{-1×3=\frac{3}{a}}\\{-1+3=-\frac{b-2}{a}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$；
（2）f（1）=3得a+b=2，
∵a＞0，b＞0
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}$=$\frac{1}{2}$（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{4}$）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{a}+\frac{4a}$）$≥\frac{1}{2}$（5+2$\sqrt{\frac{a}×\frac{4a}}$）=$\frac{9}{2}$；
當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時(shí)取得等號(hào)．
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}$的最小值是$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了一元二次不等式與方程根的關(guān)系以及利用基本不等式求代數(shù)式的最小值；關(guān)鍵是適當(dāng)變形．