Question

【題目】如圖,在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F、P、Q分別是BC、C1D1、AD1、BD的中點(diǎn)．

(1)求證：PQ∥平面DCC1D1；

(2)求證：AC⊥EF.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）連接，，由，分別為、的中點(diǎn)，知，由此能夠證明平面．

（2）作中點(diǎn)，連接，，由，分別是，的中點(diǎn)，知，由面，知面，故，再由，得到平面，由此能夠證明．

(1)如圖所示，連接CD1.

∵P、Q分別為AD1、AC的中點(diǎn)．∴PQ∥CD1.

而CD1平面DCC1D1，PQ//平面DCC1D1，

∴PQ∥平面DCC1D1.

(2)如圖，取CD中點(diǎn)H，連接EH，FH.

∵F、H分別是C1D1、CD的中點(diǎn)，在平行四邊形CDD1C1中，FH//D1D.

而D1D⊥面ABCD，

∴FH⊥面ABCD，而AC面ABCD，

∴AC⊥FH.

又E、H分別為BC、CD的中點(diǎn)，∴EH∥DB.

而AC⊥BD，∴AC⊥EH.

因為EH、FH是平面FEH內(nèi)的兩條相交直線，所以AC⊥平面EFH，

而EF平面EFH，所以AC⊥EF.