Question

如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1． (1) 求BF的長 (2) 求點C到平面AEC1F的距離

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解析：方法一　如圖所示，(1)過E作EH∥BC交CC1于H，則CH=BE=1，EH∥AD，且EH=AD． 　　又∵AF∥EC1，∴∠FAD=∠C1EH． 　　∴Rt△ADF ≌ Rt△EHC1，∴DF=C1H=2． 　　∴BF==2． 　　方法二　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0，0，0)　B(2，4，0) 　A(2，0，0)　C(0，40)　E(2，4，1)C1(0，4，3)．設(shè)F(0，0，z) 　　∵四邊形AEC1F為平行四邊形，∴由=，得(－2，0，z)=(－2，0，2)，∴z=2，F(xiàn)(0，0，2)．∴=(－2，－4，2)． 　　于是｜｜=2，即BF的長為2．

(2)

延長C1E與CB交于G，連結(jié)AG，則平面AEC1F與平面ABCD相交于AG．過C作CM上AG，垂足為M，連C1M，由三垂線定理可知AG⊥C1M． 　　∵AG⊥平面C1MC，且AG平面AEC1F，∴平面AEC1F⊥平面C1MC．在Rt△C1CM中，作CQ⊥MC1，垂足為Q，則CQ的長即為C到平面AEC1F的距離． 　　由=可得，BG=1，從而AG==． 　　由∠GAB=∠MCG知，CM=3cos∠MCG=3cos∠3×=， ∴CQ===． 　　方法二：設(shè)n1為平面AEC1F的法向量，顯然n1不垂直于平面ADF，故可設(shè)n1=(x，y，1)， 　　由得 　　即∴ 　　又=(0，0，3)，設(shè)與n1的夾角為α，則 　　cos== 　　　=． 　　∴C到平面AEC1F的距離為d=｜｜cosα=3×=． 　　點評：若Aα，M∈α，平面α的一個法向量為n，則向量由在向量n上的投影的長度，等于點A至平面α的距離d，即d=｜｜·cos〈，n〉｜=．