【題目】已知拋物線的焦點為F,過拋物線上一點P作拋物線的切線交x軸于點D,交y軸于Q點,當時,.
(1)判斷的形狀,并求拋物線的方程;
(2)若兩點在拋物線上,且滿足,其中點,若拋物線上存在異于的點H,使得經(jīng)過三點的圓和拋物線在點處有相同的切線,求點H的坐標.
【答案】(Ⅰ)等腰三角形,見解析(Ⅱ)
【解析】
試題(1)設(shè)P(x1,y1),求出切線l的方程,求解三角形的頂點坐標,排除邊長關(guān)系,然后判斷三角形的形狀,然后求解拋物線方程.
(2)求出A,B的坐標分別為(0,0),(4,4),設(shè)H(x0,y0)(x0≠0,x0≠4),求出AB的中垂線方程,AH的中垂線方程,解得圓心坐標,由,求解H點坐標即可.
試題解析:
(1) (1)設(shè)P(x1,y1),
則切線l的方程為,且,
所以,,所以|FQ|=|FP|,
所以△PFQ為等腰三角形,且D為PQ的中點,
所以DF⊥PQ,因為|DF|=2,∠PFD=60°,
所以∠QFD=60°,所以,得p=2,
所以拋物線方程為x2=4y;
(2)由已知,得A,B的坐標分別為(0,0),(4,4),
設(shè)H(x0,y0)(x0≠0,x0≠4),
AB的中垂線方程為y=﹣x+4,①AH的中垂線方程為,②
聯(lián)立①②,解得圓心坐標為:,
kNH==,
由,得,
因為x0≠0,x0≠4,所以x0=﹣2,
所以H點坐標為(﹣2,1).
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【題目】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),在上是增函數(shù),且,給出下列結(jié)論,
①若且,則;
②若且,則;
③若方程在內(nèi)恰有四個不同的實根, , , ,則或8;
④函數(shù)在內(nèi)至少有5個零點,至多有13個零點.
其中結(jié)論正確的有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】下列四個結(jié)論:
(1)若,則恒成立;
(2)命題“若,則”的逆否命題為“若,則”;
(3)“命題為真”是“命題為真”的充分不必要條件;
(4)命題“”的否定是“”.
其中正確的結(jié)論的個數(shù)是( )
A. B. C. D.
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【題目】(本題滿分14分)已知是函數(shù)的一個極值點.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若直線與函數(shù)的圖象有3個交點,求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)在區(qū)間(其中)上存在極值,求實數(shù)的取值范圍.
(Ⅱ)如果當時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
(Ⅲ)求證.
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【題目】已知函數(shù),且.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若對任意,都有,求的取值范圍;
(3)證明函數(shù)的圖象在圖象的下方.
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【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,PD//MA,MA⊥AD,PM⊥平面CDM,MA=ADPD=1.
(1)求證:平面ABCD⊥平面AMPD;
(2)求三棱錐A﹣CMP的高.
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【題目】已知雙曲線的焦點是橢圓: ()的頂點,且橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)動點, 在橢圓上,且,記直線在軸上的截距為,求的最大值.
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【題目】已知定義在上的奇函數(shù),當時,.
(1)求;
(2)當時,求的解析式.
(3)若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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