【題目】如圖，四棱錐中，底面是矩形，面面，且是邊長為2的等邊三角形， ， 在上，且面

（1）求證： 是的中點(diǎn)；

（2）求直線與所成角的正切值；

（3）在上是否存在點(diǎn)，使二面角為直角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

【答案】(1)見解析(2) (3)

【解析】試題分析：（1）連接AC交BD于E，連接ME，可得PA∥面MBD，且ME是平面PAC與平面MDB的交線，得PA∥ME，即M是PC的中點(diǎn)；

（2）取AD中點(diǎn)，由（1）知OA、OE、OP兩兩垂直，分別以OA、OE、OP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出所成角的余弦值，得到正弦值，進(jìn)一步得到直線PA與MB所成角的正切值；

（3）設(shè)在PA上是否存在點(diǎn)F，使二面角F﹣BD﹣M為直角，且，則由，得F（1﹣λ，0， ），分別求出平面MBD與平面FBD的一個法向量，由兩法向量垂直求得λ值，可得存在點(diǎn)F，使二面角F﹣BD﹣M為直角，此時．

試題解析：

（1）證明：連交于，連.∵是矩形，∴是中點(diǎn).又面，且是面與面的交線，∴，∴是的中點(diǎn).

（2）取中點(diǎn)，由（1）， ， 兩兩垂直.以為原點(diǎn)， ， ， 所在直線分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則各點(diǎn)坐標(biāo)為

， ， ， ， ， .

（3）設(shè)存在滿足要求，且，則由得，

平面的一個法向量為，

平面的一個法向量為， ，得，解得，故存在，使二面角為直角，此時.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在中，且，邊上的中線長為，則的面積是____．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，AB是圓O的直徑，C是圓O上不同于A，B的一點(diǎn)，PA⊥平面ABC，E是PC的中點(diǎn)，，PA=AC=1．

（1）求證：AE⊥PB;

（2）求三棱錐C-ABE的體積.

（3）求二面角A-PB-C的正弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】記分別為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個“S點(diǎn)”．

（1）證明：函數(shù)與不存在“S點(diǎn)”；

（2）若函數(shù)與存在“S點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的值；

（3）已知函數(shù)，．對任意，判斷是否存在，使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“S點(diǎn)”，并說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列說法不正確的個數(shù)有（ ）

甲、乙兩學(xué)生參與某考試，設(shè)命題：甲考試及格， ：乙考試及格，則命題“至少有一位學(xué)生不及格”可表示為.命題“對，都有”的否定為“，使得”.“若，則”是假命題.④“”是“”的必要不充分條件.⑤函數(shù)是偶函數(shù)

A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（題文）已知橢圓的離心率為，過點(diǎn)的直線交橢圓與兩點(diǎn)，，且當(dāng)直線垂直于軸時，.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若，求弦長的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校研究性學(xué)習(xí)小組從汽車市場上隨機(jī)抽取輛純電動汽車調(diào)查其續(xù)駛里程（單次充電后能行駛的最大里程），被調(diào)查汽車的續(xù)駛里程全部介于公里和公里之間，將統(tǒng)計(jì)結(jié)果分成組：，，，，，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求直方圖中的值；

（2）求續(xù)駛里程在的車輛數(shù)；

（3）若從續(xù)駛里程在的車輛中隨機(jī)抽取輛車，求其中恰有一輛車的續(xù)駛里程在內(nèi)的概率.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】的內(nèi)角的對邊分別為，下列四個命題中正確的是（ ）

A.若，則一定是銳角三角形

B.若，則一定是等邊三角形

C.若，則一定是等腰三角形

D.若，則一定是等腰三角形

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測量如圖所示的藍(lán)洞的口徑，兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)，，測得，，，，則，兩點(diǎn)的距離為___．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案