Question

【題目】記分別為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個(gè)“S點(diǎn)”．

（1）證明：函數(shù)與不存在“S點(diǎn)”；

（2）若函數(shù)與存在“S點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的值；

（3）已知函數(shù)，．對(duì)任意，判斷是否存在，使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“S點(diǎn)”，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）a的值為

（3）對(duì)任意a>0，存在b>0，使函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)存在“S點(diǎn)”．

【解析】分析：（1）根據(jù)題中“S點(diǎn)”的定義列兩個(gè)方程，根據(jù)方程組無(wú)解證得結(jié)論；（2）同（1）根據(jù)“S點(diǎn)”的定義列兩個(gè)方程，解方程組可得a的值；（3）通過(guò)構(gòu)造函數(shù)以及結(jié)合 “S點(diǎn)”的定義列兩個(gè)方程，再判斷方程組是否有解即可證得結(jié)論.

詳解：解：（1）函數(shù)f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，則f′（x）=1，g′（x）=2x+2．

由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得

，此方程組無(wú)解，

因此，f（x）與g（x）不存在“S”點(diǎn)．

（2）函數(shù)，，

則．

設(shè)x0為f（x）與g（x）的“S”點(diǎn)，由f（x0）與g（x0）且f′（x0）與g′（x0），得

，即，（*）

得，即，則．

當(dāng)時(shí)，滿足方程組（*），即為f（x）與g（x）的“S”點(diǎn)．

因此，a的值為．

（3）對(duì)任意a>0，設(shè)．

因?yàn)?/span>，且h（x）的圖象是不間斷的，

所以存在∈（0，1），使得，令，則b>0．

函數(shù)，

則．

由f（x）與g（x）且f′（x）與g′（x），得

，即（**）

此時(shí)，滿足方程組（**），即是函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)的一個(gè)“S點(diǎn)”．

因此，對(duì)任意a>0，存在b>0，使函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)存在“S點(diǎn)”．