已知橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（4，2），且離心率為
2
2
，R（x0，y0）是橢圓Γ上的任意一點(diǎn)，從原點(diǎn)O引圓R：（x-x0）2+（y-y0）2=8的兩條切線分別交橢圓于P，Q．
（1）求橢圓Γ的方程；
（2）求證：OP2+OQ2為定值．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）根據(jù)橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（4，2），且離心率為
2
2
，求出a，b，即可求橢圓Γ的方程；
（2）分類討論，因?yàn)閺脑c(diǎn)O引圓R：（x-x0）2+（y-y0）2=8的兩條切線分別交橢圓于P，Q，可得k1，k2是方程(
x
2
0
-8)k2-2x0y0k+
y
2
0
-8=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，利用韋達(dá)定理，結(jié)合點(diǎn)差法，即可得出結(jié)論．
解答： 解：（1）依題意
16
a2
+
4
b2
=1
c2
a2
=
1
2
，
∵a2=b2+c2，
∴a2=24，b2=12，
∴橢圓Γ的方程為
x2
24
+
y2
12
=1．
（2）（i）當(dāng)直線OP，OQ的斜率均存在時(shí)，不妨設(shè)直線OP：y=k1x，OQ：y=k2x
依題意
|k1x0-y0|
1+
k
2
1
=2
2
，化簡(jiǎn)得(
x
2
0
-8)
k
2
1
-2x0y0k1+
y
2
0
-8=0
同理(
x
2
0
-8)
k
2
2
-2x0y0k2+
y
2
0
-8=0，
∴k1，k2是方程(
x
2
0
-8)k2-2x0y0k+
y
2
0
-8=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴k1k2=
y
2
0
-8
x
2
0
-8
，
∵
x
2
0
24
+
y
2
0
12
=1，
∴
y
2
0
=12-
1
2
x
2
0
，
∴k1k2=
4-
1
2
x
2
0
x
2
0
-8
=-
1
2

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則
y1
x1
•
y2
x2
=-
1
2
，∴
y
2
1
y
2
2
=
1
4
x
2
1
x
2
2
，
∵
x
2
1
24
+
y
2
1
12
=1
x
2
2
24
+
y
2
2
12
=1
，∴
y
2
1
=12-
1
2
x
2
1
y
2
2
=12-
1
2
x
2
2
，
∴(12-
1
2
x
2
1
)(12-
1
2
x
2
2
)=
1
4
x
2
1
x
2
2
，
∴
x
2
1
+
x
2
2
=24，
∴
y
2
1
+
y
2
2
=12，
∴OP2+OQ2=36
（ii）當(dāng)直線OP，OQ落在坐標(biāo)軸上時(shí)，顯然有OP2+OQ2=36
綜上：OP2+OQ2=36（定值）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f1（x）=
2x-1
x+1
．對(duì)于n=1，2，…定義fn+1（x）=f1（fn（x）），若f35（x）=f5（x），f28（x）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB=5，BC=4，AC=3，M 是AB邊上的點(diǎn)，P是平面ABC外一點(diǎn)．給出下列四個(gè)命題：
①若PM丄平面ABC，且M是AB邊中點(diǎn)，則有PA=PB=PC；
②若PC=5，PC丄平面ABC，則△PCM面積的最小值為
15
2
；
③若PB=5，PB⊥平面ABC，則三棱錐P-ABC的外接球體積為
125
2
6
π；
④若PC=5，P在平面ABC上的射影是△ABC內(nèi)切圓的圓心，則三棱錐P-ABC的體積為2
23
；
⑤若PA=5，PA⊥平面ABC，則直線MP與平面PBC所成的最大角正切值為
5
3
．
其中正確命題的序號(hào)是
 
． （把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

求圓（x-1）2+（y+2）2=4上的一點(diǎn)Q到點(diǎn)P（-
4
5
，
2
5
）的最短距離及這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AB=2，AC=6，點(diǎn)D在線段BB1上，且BD=
1
3
BB1，A1C∩AC1=E．
（Ⅰ）求證：直線DE與平面ABC不平行；
（Ⅱ）設(shè)平面ADC1與平面ABC所成的銳二面角為θ，若cosθ=
7
7
，求AA1的長(zhǎng)；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)平面ADC1∩平面ABC=l，求直線l與DE所成的角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知冪函數(shù)f（x）=xα的圖象過(guò)點(diǎn)(2，
2
2
)，則f（16）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某城市交通規(guī)劃中，擬在以點(diǎn)O為圓心，半徑為50m的高架圓形車道外側(cè)P處開一個(gè)出口，以與圓形道相切的方式，引申一條直道連接到距圓形道圓心O正北250
2
m的道路上C處（如圖），以O(shè)為原點(diǎn)，OC為y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求直道PC所在的直線方程，并計(jì)算出口P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知圓C1：（x-2cosθ）2+（y-2sinθ）2=1與圓C2：x2+y2=1，在下列說(shuō)法中：
①對(duì)于任意的θ，圓C1與圓C2始終相切；
②對(duì)于任意的θ，圓C1與圓C2始終有四條公切線；
③直線l：2（m+3）x+3（m+2）y-（2m+5）=0（m∈R）與圓C2一定相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)；
④P，Q分別為圓C1與圓C2上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最大值為4．
其中正確命題的序號(hào)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）=ex+2ax（a為常數(shù)），曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線與直線x-y-3=0垂直．
（Ⅰ）求a的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，ex＞x2；
（Ⅲ）設(shè)F（x）=f（x）-ex+
1
3
x3+mx2+1，若F（x）在（1，3）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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