Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若關于的不等式在上恒成立，求的取值范圍；

（2）設函數(shù)，若在上有兩個不同極值點，求的取值范圍，并判斷極值的正負．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）把恒成立轉(zhuǎn)化為在上恒成立。設函數(shù)， 求導求函數(shù)的最小值，只需。（2）， 轉(zhuǎn)化為g(x)的導函數(shù)在有奇次根。，令

，則．由，得．結(jié)合函數(shù)圖象可知， 在上存在極值，分或兩種情況討論。

試題解析：（Ⅰ）由，得．

即在上恒成立．

設函數(shù)， ．

則．

設．

則．易知當時， ．

∴在上單調(diào)遞增，且．

即對恒成立．

∴在上單調(diào)遞增．

∴當時， ．

∴，即的取值范圍是．

（Ⅱ）， ．

∴ ．

設，則．

由，得．

當時， ；當時， ．

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

且， ， ．

顯然．

結(jié)合函數(shù)圖象可知，若在上存在極值，

則或．

（ⅰ）當，即時，

則必定，使得，且．

當變化時， ， ， 的變化情況如下表：

	-	0	+	0	-
	-	0	+	0	-
	↘	極小值	↗	極大值	↘

∴當時， 在上的極值為，且．

∵ ．

設，其中， ．

∵，∴在上單調(diào)遞增， ，當且僅當時取等號．

∵，∴．

∴當時， 在上的極值．

（ⅱ）當，即時，

則必定，使得．

易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

此時， 在上的極大值是，且．

∴當時， 在上的極值為正數(shù)．

綜上所述：當時， 在上存在極值，且極值都為正數(shù)．