Question

已知函數(shù)f(x)=

ax

x2+b

，在x=1處取得極值2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）m滿足什么條件時，區(qū)間（m，2m+1）為函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間？
（Ⅲ）設(shè)直線l為曲線f(x)=

ax

x2+b

的切線，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=

ax

x2+b

，∴f′(x)=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

．
又函數(shù)f（x）在x=1處取得極值2，∴

f′(1)=0 f(1)=2

即

a(1+b)-2a=0 a 1+b =2

?

a=4 b=1.

當(dāng)a=4，b=1，∴f′(x)=

4(x2+1)-4x(2x)

(x2+1)2

=

4(1-x2)

(x2+1)2

，
當(dāng)-1＜x＜1時，f'（x）＞0，x＞1時，f'（x）＜0，∴f（x）在x=1處取得極值．∴f(x)=

4x

x2+1

．
（Ⅱ）由f′(x)=

4(x2+1)-4x(2x)

(x2+1)2

=0?x=±1．

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值-2	↗	極大值2	↘

所以f(x)=

4x

x2+1

的單調(diào)增區(qū)間為[-1，1]．
若（m，2m+1）為函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間，則有

m≥-1 2m+1≤1 2m+1＞m

解得-1＜m≤0．
即m∈（-1，0]時，（m，2m+1）為函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅲ）∵f(x)=

4x

x2+1

，∴f′(x)=

4(x2+1)-4x(2x)

(x2+1)2

．
設(shè)切點為P（x₀，y₀），則直線l的斜率為k=f′(x0)=

4(x02+1)-8x02

(x02+1)2

=4[

2

(x02+1)2

-

1

x02+1

]．
令

1

x02+1

=t，  t∈(0，  1]，則直線l的斜率k=4（2t²-t），t∈（0，1]，∴k∈[-

1

2

，  4]．