Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點，O為坐標原點，點P（-1，

2

2

）在橢圓上，且

PF1

•

F1F2

=0，⊙O是以F₁F₂為直徑的圓，直線l：y=kx+m與⊙O相切，并且與橢圓交于不同的兩點A，B
（1）求橢圓的標準方程；
（2）當

OA

•

OB

=λ，且滿足

2

3

≤λ≤

3

4

時，求弦長|AB|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意，易得PF₁⊥F₁F₂，進而可得c=1，根據(jù)橢圓的方程與性質(zhì)可得

1

a2

+

1

2b2

=1，a²=b²+c²，聯(lián)立解可得a²、b²、c²的值，即可得答案；
（2）根據(jù)題意，直線l與⊙x²+y²=1相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑1，即

|m|

k2+1

=1，變形為m²=k²+1，聯(lián)立橢圓與直線的方程，即

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，設(shè)由直線l與橢圓交于不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則△＞0，解可得k≠0，可得x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁•x₂=-

2m2-2

1+2k2

，進而將其代入y₁•y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）可得y₁•y₂關(guān)于k的表達式，又由

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=

1+k2

1+2k2

=λ，結(jié)合題意

2

3

≤λ≤

3

4

，解可得

1

2

≤k²≤1，根據(jù)弦長公式可得|AB|=2

2(k4+k2) 4(k4+k2)+1

，設(shè)u=k⁴+k²（

1

2

≤k²≤1），則

3

4

≤u≤2，將|AB|用u表示出來，由u∈[

3

4

，2]分析易得答案．

解答：解：（1）依題意，由

PF1

•

F1F2

=0，可得PF₁⊥F₁F₂，
∴c=1，
將點p坐標代入橢圓方程可得

1

a2

+

1

2b2

=1，又由a²=b²+c²，
解得a²=2，b²=1，c²=1，
∴橢圓的方程為

x2

2

+y²=1．
（2）直線l：y=kx+m與⊙x²+y²=1相切，則

|m|

k2+1

=1，即m²=k²+1，
由直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
△=（4km）²-4×（1+2k²）（2m²-2）＞0，化簡可得2k²＞1+m²，
x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁•x₂=-

2m2-2

1+2k2

，
y₁•y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁•x₂+km（x₁+x₂）+m²=

m2-2k2

1+2k2

=

1-k2

1+2k2

，

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=

1+k2

1+2k2

=λ，

2

3

≤

1+k2

1+2k2

≤

3

4

，解可得

1

2

≤k²≤1，（9分）
|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=2

2(k4+k2) 4(k4+k2)+1

設(shè)u=k⁴+k²（

1

2

≤k²≤1），
則

3

4

≤u≤2，|AB|=2

2u 4u+1

=2

1 2 - 1 2(4u+1)

，u∈[

3

4

，2]
分析易得，

6

2

≤|AB|≤

4

3

．（13分）

點評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解此類題目，一般要聯(lián)系直線與圓錐曲線的方程，得到一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系來求解．