Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是邊長為2的正三角形，側棱長為

3

，側棱CC₁⊥底面ABC，D是AC的中點．
（1）求證：AB₁∥平面BC₁D；
（2）求二面角D-BC₁-C的平面角的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）欲證AB₁∥平面BC₁D，只需證明AB₁平行平面BC₁D中的一條直線，利用三角形的中位線平行與第三邊，構造一個三角形AB1C，使AB₁成為這個三角形中的邊，而中位線OD恰好在平面BC₁D上，就可得到結論．
（2）建系D-xyz，分別求出平面BC₁D和平面BCC₁的法向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解答： 證明：（1）連接B₁C，設B₁C與BC₁相交于點O，連接OD，

∵四邊形BCC₁B是平行四邊形，
∴點O為B₁C的中點，
∵D為AC的中點，
∴OD為△AB₁C的中位線，
∴OD∥AB₁，
∵OD?平面BC₁D，AB₁?平面BC₁D，
∴AB₁∥平面BC₁D …（5分）
解：（2）建系D-xyz如圖．

由題意可知：D（0，0，0），C（1，0，0），B（0，

3

，0），C₁（1，0，

3

），則

DC1

=（1，0，

3

），

DB

=（0，

3

，0），

CC1

=（0，0，

3

），

CB

=（-1，

3

，0），
設平面BC₁D和平面BCC₁的法向量分別為：

m

=（x，y，z），

n

=（a，b，c），
則

DC1 • m =0 DB  • m =0

，即

x+ 3 z=0 3 y=0

，令x=

3

，則：

m

=（

3

，0，-1），

CC1 • n =0 CB  • n =0

，即

3 c=0 -a+ 3 b=0

，令a=

3

，則：

n

=（

3

，1，0），
故二面角D-BC₁-C的平面角θ的余弦值cosθ=

| m • n |

| m |•| n |

=

3

4

點評：本題考察了線面平行判定定理的應用和二面角的作法和求法，解決二面角問題關鍵是要轉化為向量夾角問題．