Question

18．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1，x＞0\\-1，x＜0\end{array}\right.$，設(shè)$g（x）=\frac{f（x）}{x^2}$，則g（x）是（　　）

• A． 奇函數(shù)，在（-∞，0）上遞增，在（0，+∞）上遞增
• B． 奇函數(shù)，在（-∞，0）上遞減，在（0，+∞）上遞減
• C． 偶函數(shù)，在（-∞，0）上遞增，在（0，+∞）上遞增
• D． 偶函數(shù)，在（-∞，0）上遞減，在（0，+∞）上遞減

Answer 1

分析 根據(jù)題意，寫出函數(shù)g（x）的解析式，設(shè)x＞0，則-x＜0，分析可得g（-x）=-g（x），可得g（x）為奇函數(shù)；由x＞0時g（x）的解析式，對其求導(dǎo)可得g′（x）=-2•$\frac{1}{{x}^{3}}$=$\frac{-2}{{x}^{3}}$＜0，可得函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）上遞減，結(jié)合單調(diào)性可得其在（-∞，0）上也遞減，綜合可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，$g（x）=\frac{f（x）}{x^2}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{x}^{2}}，x＞0}\\{-\frac{1}{{x}^{2}}，x＜0}\end{array}\right.$，
設(shè)x＞0，則-x＜0，g（-x）=-$\frac{1}{（-x）^{2}}$=-$\frac{1}{{x}^{2}}$=-g（x），故g（x）為奇函數(shù)；
當(dāng)x＞0時，g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$=x^-2，
g′（x）=-2•$\frac{1}{{x}^{3}}$=$\frac{-2}{{x}^{3}}$＜0，
即g（x）在區(qū)間（0，+∞）上遞減，
又由函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，則在（-∞，0）上也遞減，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的奇偶性單調(diào)性的判定，涉及分段函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是寫出g（x）的解析式．