Question

【題目】如圖，平面平面，其中為矩形，為梯形，，，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若二面角的平面角的余弦值為，求的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析； （Ⅱ） .

【解析】

（Ⅰ）由條件易得和，從而可證得平面；

（Ⅱ）設(shè)AB＝x．以F為原點(diǎn)，AF，F(xiàn)E所在的直線(xiàn)分別為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，平面ABF的法向量可取＝(0，1，0)，通過(guò)求解平面BFD的法向量，進(jìn)而利用法向量求二面角的余弦值列方程求解即可.

(Ⅰ)平面平面,且為矩形，

平面，又平面, ，又且

平面.

(Ⅱ)設(shè)AB＝x．以F為原點(diǎn)，AF，F(xiàn)E所在的直線(xiàn)分別為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系．

則F(0，0，0)，A(－2，0，0)，E(0，，0)，D(－1，，0)，B(－2，0，x)，

所以＝(1，－，0)，＝(2，0，－x)．

因?yàn)镋F⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取＝(0，1，0)．

設(shè)＝(x1，y1，z1)為平面BFD的法向量，

則所以，可取＝(，1，)．

因?yàn)閏os<，>＝＝，得x＝，所以AB＝．