已知函數(shù)f（x）=
1
x+1

（1）證明：f（x）在區(qū)間（-1，+∞）上單調(diào)遞減；
（2）若f（x）≤a在區(qū)間[0，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．
（1）證明：設-1＜x1＜x2，
則f（x1）-f（x2）=
1
x1+1
-
1
x2+1
=
x2-x1
(x1+1)(x2+1)
．
因為-1＜x10，x2+1＞0，
所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以函數(shù)f（x）=
1
x+1
在（-1，+∞）上單調(diào)遞減．
（2）f（x）≤a在區(qū)間[0，+∞）上恒成立，等價于x∈[0，+∞）時f（x）max≤a，
由（1）知，f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，所以f（x）max=f（0）=1，
所以有a≥1，即a的取值范圍為[1，+∞）．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
|x|
，g（x）=1+
x+|x|
2
，若f（x）＞g（x），則實數(shù)x的取值范圍是（　�。�
A、（-∞，-1）∪（0，1）
B、(-∞，-1)∪(0，
-1+
5
2
)
C、(-1，0)∪(
-1+
5
2
，+∞)
D、(-1，0)∪(0，
-1+
5
2
)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1，x∈Q
0，x∉Q
，則f[f（π）]=（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1-x
ax
+lnx(a＞0)
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當a=1時，求f（x）在[
1
2
，2]上的最大值和最小值；
（3）當a=1時，求證對任意大于1的正整數(shù)n，lnn＞
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
恒成立．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=1+cos2x-2sin2（x-
π
6
），其中x∈R，則下列結(jié)論中正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=1+logax（a＞0，a≠1），滿足f（9）=3，則f-1（log92）的值是（　�。�

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