Question

理 本小題滿分12分）

    如圖在直三棱柱ABC – A₁B₁C₁中，∠BAC = 90°，AB = AC = a，AA₁ = 2a，D為BC的中點，E為CC₁上的點，且CE = CC₁

   （I）求三棱錐B – AB₁D的體積；

   （II）求證：BE⊥平面ADB₁；

 （Ⅲ）求二面角B—AB₁—D的大小.

Answer 1

（I）    （Ⅲ）arcsin

解析:

（Ⅰ）∵AB=AC=a，∠BAC=90°，D為BC中點

B₁B=C₁C=A₁A=2a，

∴  ………………2分

∵ …………4分

解法一：（Ⅱ）由AB=AC，D是BC的中點，得AD⊥BC

從而AD⊥平面B₁BCC₁   ，又BE平面B₁BCC₁，所在AD⊥BE …………6分

由已知∠BAC=90°，AB=AC=a，得

在Rt△BB₁D中，

在Rt△CBE中，

于是∠BB₁D=∠CBE，設(shè)EB∩DB₁=G

∠BB₁D+∠B₁BG=∠CBE+∠B₁BG=90°，則DB₁⊥BE，又AD∩DB₁=D

故BE⊥平面ADB₁   ……………………8分

（Ⅲ）過點G作GF⊥AB₁于F，連接BF

由（Ⅰ）及三垂線定理可知∠BFG是二面角B—AB_­1—D的平面角   …………10分

在Rt△ABB₁中，由BF·AB₁=BB₁·AB，得

在Rt△BDB₁中，由BB₁·BD=BG·DB₁，得BG=

所以在Rt△BFG中，

故二面角B—AB—D的大小為arcsin  ………………12分

解法二：

解法：（Ⅱ）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz  …………2分

可知A（0，0，0），B（a，0，0），C（0，a，0），D（），

B₁（a，0，2a），E（0，a，） …………4分

可得

  ………………6分

于是得，

可知BE⊥AD，BE⊥DB₁

又AD∩DB₁=D，故BE⊥平面ADB₁  …………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面ADB₁的法向量，平面ABB₁的法向量

于是   …………10分

故二面角B—AB₁—D的大小為arccos   ………………12分