理 本小題滿分12分)

 
    如圖在直三棱柱ABC – A1B1C1中,∠BAC = 90°,AB = AC = a,AA1 = 2a,D為BC的中點,E為CC1上的點,且CE = CC1

   (I)求三棱錐B – AB1D的體積;

   (II)求證:BE⊥平面ADB1;

 (Ⅲ)求二面角B—AB1—D的大小.

(I)    (Ⅲ)arcsin


解析:

(Ⅰ)∵AB=AC=a,∠BAC=90°,D為BC中點

B1B=C1C=A1A=2a,

  ………………2分

 …………4分

解法一:(Ⅱ)由AB=AC,D是BC的中點,得AD⊥BC

從而AD⊥平面B1BCC1   ,又BE平面B1BCC1,所在AD⊥BE …………6分

由已知∠BAC=90°,AB=AC=a,得

在Rt△BB1D中,

在Rt△CBE中,

于是∠BB1D=∠CBE,設(shè)EB∩DB1=G

∠BB1D+∠B1BG=∠CBE+∠B1BG=90°,則DB1⊥BE,又AD∩DB1=D

故BE⊥平面ADB1   ……………………8分

(Ⅲ)過點G作GF⊥AB1于F,連接BF

由(Ⅰ)及三垂線定理可知∠BFG是二面角B—AB­1—D的平面角   …………10分

在Rt△ABB1中,由BF·AB1=BB1·AB,得

在Rt△BDB1中,由BB1·BD=BG·DB1,得BG=

所以在Rt△BFG中,

故二面角B—AB—D的大小為arcsin  ………………12分

解法二:

解法:(Ⅱ)如圖,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz  …………2分

可知A(0,0,0),B(a,0,0),C(0,a,0),D(),

B1(a,0,2a),E(0,a,) …………4分

可得

  ………………6分

于是得,

可知BE⊥AD,BE⊥DB1

又AD∩DB1=D,故BE⊥平面ADB1  …………8分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面ADB1的法向量,平面ABB1的法向量

于是   …………10分

故二面角B—AB1—D的大小為arccos   ………………12分

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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(08年全國卷Ⅰ理)(本小題滿分12分)

設(shè)函數(shù).?dāng)?shù)列滿足,

(Ⅰ)證明:函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù);

(Ⅱ)證明:;

(Ⅲ)設(shè),整數(shù).證明:

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(2)    設(shè)A,B,C為ABC的三個內(nèi)角,若cosB=,,且C為銳角,求sinA.

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(2009山東卷理)(本小題滿分12分)

     在某校組織的一次籃球定點投籃訓(xùn)練中,規(guī)定每人最多投3次;在A處每投進一球得3分,在B處每投進一球得2分;如果前兩次得分之和超過3分即停止投籃,否則投第三次,某同學(xué)在A處的命中率q為0.25,在B處的命中率為q,該同學(xué)選擇先在A處投一球,以后都在B處投,用表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分,其分布列為

            

0          

2             

   3   

   4   

   5   

        p        

0.03          

   P1               

   P2         

P3          

P4              

(1)       求q的值;     

(2)       求隨機變量的數(shù)學(xué)期望E;

(3)       試比較該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分與選擇上述方式投籃得分超過3分的概率的大小。

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(江西卷理)(本小題滿分12分)

已知點為雙曲線為正常數(shù))上任一點,為雙曲線的右焦點,過作右準(zhǔn)線的垂線,垂足為,連接并延長交軸于.            

(1)    求線段的中點的軌跡的方程;

(2)    設(shè)軌跡軸交于兩點,在上任取一點,直線分別交軸于兩點.求證:以為直徑的圓過兩定點.

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