Question

4．已知函數(shù)f（x）=|x-10|+|x-20|，且滿足f（x）＜10a（a∈R）的解集不是空集．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）求a+$\frac{4}{{a}^{2}}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用絕對值的意義求得函數(shù)f（x）＜10a的解集不是空集時(shí)，a的范圍．
（Ⅱ）由條件利用基本不等式求得a+$\frac{4}{{a}^{2}}$的最小值

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=|x-10|+|x-20|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點(diǎn)到10、20對應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
它的最小值為10，由f（x）＜10a（a∈R）的解集不是空集，可得10a＞10，a＞1．
（Ⅱ）當(dāng)a＞1時(shí)，$a+\frac{4}{a^2}=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{4}{a^2}$，
又 $\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{4}{a^2}≥3\root{3}{{\frac{a}{2}•\frac{a}{2}•\frac{4}{a^2}}}=3$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}{2}=\frac{4}{a^2}$，即a=2時(shí)等號成立，
所以$a+\frac{4}{a^2}$的最小值為3．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值的意義，基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．