Question

（本小題滿分13分）已知是邊長為1的正方體，求：

（Ⅰ）直線與平面所成角的正切值；
（Ⅱ）二面角的大�。�

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）60°

解析試題分析：（Ⅰ）先根據(jù)其為正方體得到∠C₁AB₁就是AC₁與平面AA₁B₁B所成的角；然后在RT△C₁AB₁中求其正切即可；
（Ⅱ）先過B₁作B₁E⊥BC₁于E，過E作EF⊥AC₁于F，連接B₁F；根據(jù)AB⊥平面B₁C₁CB推得B₁E⇒AC₁；進(jìn)而得到∠B₁FE是二面角B﹣AC₁﹣B₁的平面角；然后通過求三角形的邊長得到二面角B﹣AC₁﹣B₁的大小即可．
試題解析：（Ⅰ）連接AB₁，∵ABCD﹣A₁B₁C₁D₁是正方體
∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，AB₁是AC₁在平面AA₁B₁B上的射影
∴∠C₁AB₁就是AC₁與平面AA₁B₁B所成的角
在RT△C₁AB₁中，tan∠C₁AB₁=
∴直線AC₁與平面AA₁B₁B所成的角的正切值為.
（Ⅱ）過B₁作B₁E⊥BC₁于E，過E作EF⊥AC₁于F，連接B₁F；
∵AB⊥平面B₁C₁CB，⇒AB⊥B₁E⇒B₁E⇒平面ABC₁⇒B₁E⇒AC₁
∴∠B₁FE是二面角B﹣AC₁﹣B₁的平面角
在RT△BB₁C₁中，B₁E=C₁E=BC₁=，
在RT△ABC₁中，sin∠BC₁A=
∴EF=C₁E•sin∠BC₁A=，
∴tan∠B₁FE=
∴∠B₁FE=60°，即二面角B﹣AC₁﹣B₁的大小為60°．

考點：線面角以及二面角的平面角及其求法.